EL PROBLEMA DE DIRICHLET

Daniel Girela

Análisis Matemático, Facultad de Ciencias, Universidad de Málaga, 29071 Málaga, Spain e-mail: girela@uma.es

1. Definiciones básicas.

Sea D un dominio en ℂ y sea f: ∂D → ℝ una función continua. El problema de Dirichlet en D con valores frontera f consiste en encontrar una función u: D ∪ ∂D → ℝ, con

u continua en D ∪ ∂D, u armónica en D, u = f en ∂D.

Si tal u existe, decimos que u resuelve o es solución del problema de Dirichlet en D con valores frontera f.

Si D es el disco unidad Δ, para toda f ∈ C(∂D) el problema de Dirichlet en D con valores frontera f tiene solución, que viene dada por la integral de Poisson de f. En efecto, si f ∈ C(∂Δ) entonces la función u: \overline{Δ} → ℝ definida por

u(z) = P [f](z),  si |z| < 1,
u(z) = f(z),  si |z| = 1,

resuelve el problema de Dirichlet en Δ con valores frontera f. Aquí, P [f] denota la integral de Poisson de f

P [f](re^{iθ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} P_{r}(θ − t)f(e^{it}) dt, 0 ≤ r < 1, θ ∈ ℝ,

donde P_{r}(θ) es el núcleo de Poisson

P_{r}(θ) = \frac{1 − r^{2}}{|1 − re^{iθ}|^{2}} = Re \frac{1 + re^{iθ}}{1 − re^{iθ}} , 0 ≤ r < 1, θ ∈ ℝ.

De forma más general, si D = Δ(z_{0}, R) y f ∈ C(∂D) entonces la función u: \overline{Δ}(z_{0}, R) → ℝ definida por

u(z) = P^{z_{0},R}[f](z),  si |z − z_{0}| < R,
u(z) = f(z),  si |z − z_{0}| = R,

resuelve el problema de Dirichlet en D con valores frontera f. Aquí

P^{z_{0},R}[f](z_{0} + re^{iθ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} P_{r}^{R}(θ − t)f(z_{0} + Re^{it}) dt, 0 ≤ r < R, θ ∈ ℝ,

donde

P_{r}^{R}(θ) = \frac{R^{2} − r^{2}}{|R − re^{iθ}|^{2}} = Re \frac{R + re^{iθ}}{R − re^{iθ}} , 0 ≤ r < R, θ ∈ ℝ,

es el núcleo de Poisson relativo al disco Δ(z_{0}, R).

Si un dominio D es tal que para toda f ∈ C(∂D) el problema de Dirichlet en D con valores frontera f tiene solución, diremos que D es regular para el problema de Dirichlet.

Por tanto hemos visto que un disco es un dominio regular para el problema de Dirichlet. También podemos observar que un dominio de Jordan es regular para el problema de Dirichlet:

En efecto, si D es un dominio de Jordan, por el teorema de Riemann de la aplicación conforme y por el teorema de Carathéodory sobre extensión continua de aplicaciones conformes, existe una aplicación conforme f de Δ sobre D que se extiende a un homeomorfismo entre \overline{Δ} y \overline{D}, lo que junto con la regularidad de Δ fácilmente implica la regularidad de D.

A continuación presentamos un ejemplo de un dominio que no es regular para el problema de Dirichlet.

El dominio Δ \ {0} no es regular para el problema de Dirichlet. Para la demostración de este hecho haremos uso de la siguiente generalización del principio del máximo.

Proposición 1. Sea D un dominio acotado en ℂ y u una función subarmónica y acotada superiormente en D. Si {ξ_{1}, …, ξ_{n}} es un subconjunto finito de ∂D y para algún M ∈ ℝ se tiene que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M para todo ξ ∈ ∂D \ \{ξ_{1}, …, ξ_{n}\},

entonces u(z) ≤ M para todo z ∈ D.

Demostración. Denotemos por d al diámetro de D, y fijado ε > 0 definamos la

función u_{ε}: D → [−∞, ∞) por u_{ε}(z) = u(z) + ε ∑_{j=1}^{n} log \frac{|z−ξ_{j}|}{d}, que es subarmónica en D.

Si ξ ∈ ∂D \ {ξ_{1}, …, ξ_{n}}, como |ξ − ξ_{j}| ≤ d para todo j,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{ε}(z) ≤ M + ε ∑_{j=1}^{n} log \frac{|ξ − ξ_{j}|}{d} ≤ M,

y si ξ ∈ {ξ_{1}, …, ξ_{n}},

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{ε}(z) = lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) + lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} ε ∑_{j=1}^{n} log \frac{|z − ξ_{j}|}{d} = −∞ ≤ M.

Entonces tenemos

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{ε}(z) ≤ M, para todo ξ ∈ ∂D,

y por el principio del máximo, u_{ε}(z) ≤ M para todo z ∈ D, es decir,

u(z) + ε ∑_{j=1}^{n} log \frac{|z − ξ_{j}|}{d} ≤ M, para todo z ∈ D.

Haciendo que ε tienda a 0, obtenemos que u(z) ≤ M para todo z ∈ D, lo que termina la demostración.

Sea f: {z ∈ ℂ : |z| = 1} ∪ {0} → ℝ definida por f(z) = 0 si |z| = 1, f(0) = 1. Entonces f ∈ C(∂(Δ \ {0})). Supongamos que u resuelve el problema de Dirichlet en Δ \ {0} con valores frontera f. Si v es la solución del problema de Dirichlet en Δ (0, \frac{1}{2}) con valores frontera u, se tiene que

u − v es armónica en Δ (0, \frac{1}{2}) \ \{0\}, u − v está acotada en Δ (0, \frac{1}{2}) \ \{0\},

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ |z|< \frac{1}{2} \end{matrix}}(u − v)(z) = 0 si |ξ| = \frac{1}{2}.

Por la Proposición 1, u − v ≤ 0 en Δ (0, \frac{1}{2}) \ \{0\}. El mismo argumento aplicado a v − u demuestra que también v − u ≤ 0 en Δ (0, \frac{1}{2}) \ \{0\}. Se sigue que u = v en Δ (0, \frac{1}{2}) \ \{0\}, y entonces u es armónica en Δ, lo que contradice el principio del máximo al ser u(0) = 1 y u(z) = 0 si |z| = 1. Esto prueba que el problema de Dirichlet en Δ \ {0} con valores frontera f no tiene solución, con lo que Δ \ {0} no es regular para el problema de Dirichlet.

Hasta aquí hemos supuesto que D es un dominio (abierto y conexo) pero es claro que si D es un abierto (no necesariamente conexo) y f ∈ C(∂D) entonces podemos considerar el problema de Dirichlet en D con valores frontera f. Aunque en realidad el caso en el que estaremos interesados será el de D dominio y además el caso de D abierto puede reducirse esencialmente a éste considerando separadamente cada una de las componentes conexas, si queremos estudiar el problema de Dirichlet desde un punto de vista local, es decir, si dado ξ ∈ ∂D queremos ver si ξ es un “punto regular para el problema de Dirichlet” (término que definiremos con precisión más adelante) razones técnicas hacen que resulte conveniente considerar el problema de Dirichlet sobre abiertos. Básicamente esta necesidad surge del hecho de que aunque D sea un dominio, si ξ ∈ ∂D y R > 0 entonces D ∩ Δ(ξ, R) no ha de ser conexo.

Proposición 2. Sea D un abierto en ℂ y sea f una función continua en la frontera de D. Si el problema de Dirichlet en D con valores frontera f tiene solución, ésta es única.

Demostración. Supongamos que u_{1} y u_{2} son soluciones del problema de Dirichlet en D con valores frontera f. Entonces la función u_{1} −u_{2} es armónica en D, es continua en D ∪ ∂D y vale cero en ∂D. El principio del máximo implica que u_{1} = u_{2}.

Una vez comprobada la unicidad de la solución del problema de Dirichlet, a continuación observaremos que, en caso de que exista, dicha solución se puede expresar como el supremo de una cierta familia de funciones.

Sea D un abierto en ℂ, sea f continua en la frontera de D y supongamos que U resuelve el problema de Dirichlet en D con valores frontera f. Si u es una función subarmónica en D tal que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D,

entonces, por el principio de la mayorante armónica,

u(z) ≤ U(z), para todo z ∈ D.

Tomando supremo en el conjunto de todas las funciones u subarmónicas en D que verifican esta propiedad, se obtiene que

sup_{u} u(z) ≤ U(z), para todo z ∈ D,

y como la función U pertenece a dicho conjunto, se tiene la igualdad

sup_{u} u(z) = U(z), para todo z ∈ D.

Es decir, si existe solución del problema de Dirichlet en D con valores frontera f, ésta es U = sup_{u} u, donde el supremo se toma en el conjunto de las funciones u

subarmónicas en D tales que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D.

Vamos a ver qué propiedades tiene esta familia de funciones. Para ello necesitaremos el siguiente resultado.

Proposición 3 (Proceso de Balayage o de modificación de Poisson de una función subarmónica). Sea D un abierto en ℂ y sea B un disco tal que \overline{B} ⊂ D. Si u es una función subarmónica en D, tiene sentido considerar la integral de Poisson P^{B}[u], que nos da una función armónica en B. Sea

u^{B}(z) = \{ \begin{matrix}P^{B}[u](z), & si z ∈ B, \\ u(z), & si z ∈ D \ B. \end{matrix}

Entonces u^{B} es subarmónica en D y u ≤ u^{B} en D.

Demostración. Sea B = Δ(z_{0}, R). Como u es subarmónica en D, entonces la función θ ↦ u(z_{0} + Re^{iθ}) está en L^{1}([−π, π]), y por tanto tiene sentido P^{B}[u].

Consideremos una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} de funciones continuas en ∂B con valores reales, tal que

a) para cada z ∈ ∂B, {f_{n}(z)}_{n=1}^{∞} es una sucesión decreciente,

b) para cada z ∈ ∂B, lim_{n→∞} f_{n}(z) = u(z).

Esta sucesión existe por ser u semicontinua superiormente en el compacto ∂B.

Para cada n ∈ ℕ podemos considerar v_{n} definida por v_{n} = P^{B}[f_{n}] en B y v_{n} = f_{n} en ∂B. Entonces v_{n} es continua en \overline{B} y armónica en B y tenemos que, si ξ ∈ ∂B,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈B \end{matrix}} u(z) ≤ lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ u(ξ) ≤ f_{n}(ξ) = v_{n}(ξ),

lo que implica, usando el principio de la mayorante armónica, que u ≤ v_{n} en B.

Por otra parte, utilizando el teorema de la convergencia monótona, obtenemos fácilmente que

lim_{n→∞} P^{B}[f_{n}](z) = P^{B}[u](z), para todo z ∈ B,

de lo que deducimos que u ≤ P^{B}[u] en B, y por tanto u ≤ u^{B} en D.

Como u^{B} es armónica en B y subarmónica en D\\overline{B}, bastará demostrar ahora que u^{B} es semicontinua superiormente en puntos de ∂B y que satisface la desigualdad del valor medio igualmente para puntos de ∂B.

Sea ξ ∈ ∂B tal que u(ξ) ∈ ℝ. Fijado ε > 0, como f_{n}(ξ) ↓ u(ξ), existe un natural N tal que

0 ≤ f_{n}(ξ) − u(ξ) < \frac{ε}{2}, para cada n ≥ N,

y como la función v_{N} es continua en ξ, existe δ > 0 tal que si z ∈ \overline{B} y |z − ξ| < δ entonces

v_{N}(z) − f_{N}(ξ) < \frac{ε}{2}.

Si z ∈ B es tal que |z − ξ| < δ, se tiene que

u^{B}(z) ≤ P^{B}[f_{N}](z) = v_{N}(z) < f_{N}(ξ) + \frac{ε}{2} < u(ξ) + ε = u^{B}(ξ) + ε.

Por tanto, hemos probado que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈B \end{matrix}} u^{B}(z) ≤ u^{B}(ξ).

Como u es subarmónica en D, entonces

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D\B \end{matrix}} u^{B}(z) = lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D\B \end{matrix}} u(z) ≤ u(ξ) = u^{B}(ξ),

lo que junto con la desigualdad anterior implica que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u^{B}(z) ≤ u^{B}(ξ),

es decir, u^{B} es semicontinua superiormente en ξ. Un argumento análogo se aplica a los puntos ξ de la frontera de B con u(ξ) = −∞.

Teniendo en cuenta que u ≤ u^{B} en D y que u = u^{B} en ∂B se deduce fácilmente la desigualdad del valor medio para puntos de la frontera de B, con lo que se completa la demostración.

2. Familias de Perron.

Sea D un abierto en ℂ y sea f: ∂D → ℝ una función acotada. Consideremos la familia

L_{f} = \{u: D → [−∞, ∞) : u es subarmónica en D y lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ)
para todo ξ ∈ ∂D}.

Se tienen las siguientes propiedades:

(a) L_{f} es no vacía.

(b) Si u_{1}, u_{2} ∈ L_{f} entonces max(u_{1}, u_{2}) ∈ L_{f}.

(c) Si u ∈ L_{f} y B es un disco con \overline{B} ⊂ D entonces u^{B} ∈ L_{f}. En efecto, si |f(ξ)| ≤ M para todo ξ ∈ ∂D entonces la función u(z) = −M para todo z ∈ D está en L_{f}, lo que prueba (a), (b) se sigue del hecho de que el máximo de dos funciones subarmónicas es subarmónica, y (c) se deduce de la Proposición 3.

Estas tres propiedades nos llevan a la siguiente definición.

Definición. Sea D un abierto en ℂ y sea F una familia de funciones subarmónicas en D. Decimos que F es una familia de Perron si satisface las siguientes condiciones:

(a) F es no vacía.

(b) Si u_{1}, u_{2} ∈ F entonces max(u_{1}, u_{2}) ∈ F.

(c) Si u ∈ F y B es un disco con \overline{B} ⊂ D entonces u^{B} ∈ F.

La solución del problema de Dirichlet, es entonces, en caso de existir, el supremo de una cierta familia de Perron de funciones subarmónicas. En general, si tenemos una familia de Perron, podemos considerar el supremo sobre dicha familia. El siguiente teorema afirma que dicho supremo es una función armónica, a menos que sea idénticamente infinito.

Teorema 1. Sea D un abierto en ℂ y F una familia de Perron de funciones subarmónicas en D. Sea

u(z) = sup_{v∈F} v(z), para todo z ∈ D.

Entonces para cada componente conexa G de D se da exactamente una de las dos siguientes posibilidades:

(a) u ≡ ∞ en G.

(b) u es armónica en G.

En la demostración haremos uso del siguiente lema.

Lema 1. Sea D un dominio en ℂ y F una familia de Perron de funciones subarmónicas en D. Si

u(z) = sup_{v∈F} v(z), para todo z ∈ D,

B es un disco con \overline{B} ⊂ D y \{z_{j}\}_{j=1}^{∞} es una sucesión en B, entonces existe una sucesión {u_{n}}_{n=1}^{∞} tal que

(a) u_{n} ∈ F para todo n.

(b) {u_{n}}_{n=1}^{∞} es creciente.

(c) lim_{n→∞} u_{n}(z_{j}) = u(z_{j}) para todo j.

(d) u_{n} es armónica en B para todo n.

Demostración. Para cada j, como u(z_{j}) = sup_{v∈F} v(z_{j}), podemos elegir una sucesión {u_{n}^{(j)}}_{n=1}^{∞} en F que verifique

lim_{n→∞} u_{n}^{(j)}(z_{j}) = u(z_{j}).

Si definimos v_{n} = max(u_{n}^{(1)}, u_{n}^{(2)}, …, u_{n}^{(n)}) para todo n, tenemos que v_{n} ∈ F para todo n y lim_{n→∞} v_{n}(z_{j}) = u(z_{j}) para todo j. Sea w_{n} = max(v_{1}, …, v_{n}) para todo n. Entonces {w_{n}} es creciente.

Consideremos por último las funciones obtenidas de las anteriores mediante el proceso de Balayage, u_{n} = w_{n}^{B} para todo n, que son armónicas en B. La sucesión {u_{n}}_{n=1}^{∞} satisface entonces (a), (b), (c) y (d).

Demostración del Teorema 1. Sea G una componente conexa de D y sean A_{1} = {z ∈ G : u(z) = ∞} y A_{2} = {z ∈ G : u(z) < ∞}.

Si z_{0} ∈ A_{1} y B es un disco de centro z_{0} tal que \overline{B} ⊂ G, al aplicar el Lema 1 para la sucesión constantemente igual a z_{0} obtenemos una sucesión {u_{n}}_{n=1}^{∞} en F, con {u_{n}(z)}_{n=1}^{∞} creciente para todo z ∈ G, que satisface que lim_{n→∞} u_{n}(z_{0}) = u(z_{0}) y tal que cada u_{n} es armónica en B. Entonces {u_{n}}_{n=1}^{∞} es una sucesión creciente de funciones armónicas en B. En virtud del teorema de Harnack, lim_{n→∞} u_{n} es o bien idénticamente infinito en B o bien una función armónica en B. Como lim_{n→∞} u_{n}(z_{0}) = u(z_{0}) = ∞, entonces lim_{n→∞} u_{n}(z) = ∞ para todo z ∈ B, y en consecuencia u(z) = ∞ para todo z ∈ B, es decir, B ⊂ A_{1}.

Por tanto, si z_{0} ∈ A_{1} y B es un disco de centro z_{0} tal que \overline{B} ⊂ G se tiene que B ⊂ A_{1}, de lo que deducimos que el conjunto A_{1} es abierto.

Sea z_{0} ∈ A_{2} y R > 0 tal que \overline{Δ}(z_{0}, R) ⊂ G. Para probar que Δ (z_{0}, \frac{R}{2}) ⊂ A_{2}, supongamos que existe z_{1} ∈ Δ (z_{0}, \frac{R}{2}) con u(z_{1}) = ∞. Entonces

\overline{Δ} (z_{1}, \frac{R}{2}) ⊂ \overline{Δ}(z_{0}, R) ⊂ G,

lo que implica, por lo que hemos visto antes, que Δ (z_{1}, \frac{R}{2}) ⊂ A_{1}. Pero como z_{0} ∈ Δ (z_{1}, \frac{R}{2}), obtenemos que z_{0} ∈ A_{1}, que lleva a contradicción pues z_{0} lo hemos elegido en A_{2}. Por tanto Δ (z_{0}, \frac{R}{2}) ⊂ A_{2} y entonces hemos probado que A_{2} es abierto.

Por la conexión de G, uno de los dos conjuntos A_{1} y A_{2} ha de ser vacío y el otro ha de coincidir con todo el dominio G. Es decir, se da una de las dos siguientes posibilidades:

(a) u(z) = ∞ para todo z ∈ G,

(b) u(z) < ∞ para todo z ∈ G.

Queda probar que en el caso (b) u es de hecho una función armónica en G. Supongamos entonces que u(z) < ∞ para todo z ∈ G. Sea z_{0} ∈ G y B un disco de centro z_{0} tal que \overline{B} ⊂ G.

Elegimos una sucesión {z_{j}}_{j=1}^{∞} en B de forma que el conjunto {z_{j} : j ∈ ℕ} sea denso en B. Aplicando nuevamente el Lema 1, obtenemos una sucesión {u_{n}}_{n=1}^{∞} en F, con {u_{n}(z)}_{n=1}^{∞} creciente para todo z ∈ G, que satisface que lim_{n→∞} u_{n}(z_{j}) = u(z_{j}) para todo j y tal que cada u_{n} es armónica en B. Por el teorema de Harnack, la función w(z) = lim_{n→∞} u_{n}(z) es armónica en B puesto que w(z_{j}) = u(z_{j}) < ∞ para todo j.

Sea ξ ∈ B, el proceso anterior aplicado al conjunto {z_{j} : j ∈ ℕ} ∪ {ξ} nos da una función w′ armónica en B que coincide con u en dicho conjunto. Al ser w y w′ funciones continuas en B que coinciden en un subconjunto denso, se tiene que w = w′ en B. Por tanto u(ξ) = w′(ξ) = w(ξ).

Esto último implica que u = w en B con lo que u es armónica en B. Luego u es armónica en un entorno de cada punto, lo que finaliza la demostración.

Si D es un abierto en ℂ y f una función acotada definida en la frontera de D con valores reales, entonces L_{f} es una familia de Perron de funciones subarmónicas en D. Sea

H_{f} = sup_{u∈L_{f}} u.

Del Teorema 1 se sigue que H_{f} es o bien idénticamente infinito o bien una función armónica en cada componente conexa de D. Pero si |f(ξ)| ≤ M para todo ξ ∈ ∂D, y si u ∈ L_{f},

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ) ≤ M, para todo ξ ∈ ∂D,

de lo que se deduce, por el principio del máximo, que

u(z) ≤ M, para todo z ∈ D.

Por tanto,

H_{f}(z) = sup_{u∈L_{f}} u(z) ≤ M, para todo z ∈ D,

lo que prueba que H_{f} no puede ser idénticamente infinito en ninguna componente conexa de D, de manera que H_{f} es armónica en D.

Este hecho es de gran interés para el problema que teníamos planteado.

Sea D un abierto en ℂ y sea f: ∂D → ℝ una función continua. Si el problema de Dirichlet en D con valores frontera f tiene solución, ésta es H_{f}. Como H_{f} es una función armónica en D, ésta resuelve el problema de Dirichlet en D con valores frontera f si, y sólo si

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) = f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D.

Así, para que un abierto D en ℂ sea regular para el problema de Dirichlet es condición necesaria y suficiente que

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) = f(ξ),

para todo ξ ∈ ∂D y para toda función continua f: ∂D → ℝ.

Definición. Sea D un abierto en ℂ y sea ξ un punto de la frontera de D. Se dice que ξ es un punto regular para el problema de Dirichlet en D si

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) = f(ξ)

para toda función continua f: ∂D → ℝ.

Observemos que un abierto D en ℂ es regular para el problema de Dirichlet si y sólo si todos los puntos de su frontera lo son.

Estamos interesados en saber qué dominios son regulares para el problema de Dirichlet. Estudiaremos esta cuestión localmente. En primer lugar vamos a caracterizar la regularidad de un punto en términos de la existencia de una determinada familia de funciones superarmónicas a la que vamos a llamar barrera y a continuación buscaremos condiciones geométricas que impliquen regularidad. No obstante, antes de todo ello podemos hacer algunas observaciones simples.

En primer lugar, observemos que trivialmente ℂ es un dominio regular para el problema de Dirichlet ya que su frontera se reduce al punto ∞. La siguiente proposición establece que éste es el único caso en que un abierto con un punto aislado en su frontera es regular.

Proposición 4. Sea D un abierto en ℂ con D ≠ ℂ. Si la frontera de D tiene algún punto aislado entonces D no es regular para el problema de Dirichlet.

Esta proposición puede demostrarse con un argumento similar al que utilizamos anteriormente para probar que Δ \ {0} no es un dominio regular para el problema de Dirichlet. Por tanto, omitiremos los detalles. En particular obtenemos que si S es un subconjunto finito y no vacío de ℂ entonces ℂ \ S no es regular para el problema de Dirichlet.

3. Existencia de barreras y regularidad.

Definición. Sea D un abierto en ℂ. Si ξ_{0} ∈ ∂D ∩ ℂ, se dice que D tiene una barrera en ξ_{0} si existe δ_{0} > 0 tal que para todo δ con 0 < δ ≤ δ_{0}, existe una función b_{δ}: D → [0, ∞] que verifica

(a) b_{δ} es superarmónica,

(b) b_{δ} ≥ 1 en D \ Δ(ξ_{0}, δ),

(c) lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} b_{δ}(z) = 0.

Si ∞ ∈ ∂D, se dice que D tiene una barrera en ∞ si existe R_{0} > 0 tal que para todo R ≥ R_{0}, existe una función b_{R}: D → [0, ∞] que verifica

(a) b_{R} es superarmónica,

(b) b_{R} ≥ 1 en D ∩ {z : |z| ≤ R},

(c) lim_{\begin{matrix}z→∞ \\ z∈D \end{matrix}} b_{R}(z) = 0.

Teorema 2. Sea D un abierto en ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si D tiene una barrera en ξ_{0} entonces ξ_{0} es regular para el problema de Dirichlet.

Demostración. Si D = ℂ entonces no hay nada que probar ya que ∂ℂ se reduce a {∞} que es trivialmente regular para el problema de Dirichlet en ℂ. Por tanto, en lo que sigue supondremos que D ≠ ℂ.

Consideremos en primer lugar el caso en que ξ_{0} ∈ ℂ. Sea f: ∂D → ℝ continua. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si ξ ∈ ∂D y |ξ −ξ_{0}| ≤ δ entonces |f(ξ)−f(ξ_{0})| < ε. Elijamos este δ suficientemente pequeño para que exista la función b_{δ} de la definición de barrera.

Definamos ahora la función

F (z) = f(ξ_{0}) − 2Mb_{δ}(z) − ε, z ∈ D,

donde M > 0 es tal que |f(ξ)| ≤ M para todo ξ ∈ ∂D. Entonces F es subarmónica en D y,

si ξ ∈ ∂D \ \overline{Δ}(ξ_{0}, δ),  lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} F (z) ≤ M − 2M − ε < −M ≤ f(ξ),

si ξ ∈ ∂D ∩ \overline{Δ}(ξ_{0}, δ),  lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} F (z) ≤ f(ξ_{0}) − ε < f(ξ).

Luego

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} F (z) ≤ f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D,

y por tanto F ∈ L_{f}, así que F ≤ H_{f}, y

f(ξ_{0}) − ε = lim inf_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} F (z) ≤ lim inf_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z).

Como ε es arbitrario,

(1)  f(ξ_{0}) ≤ lim inf_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z).

Al aplicar esta desigualdad a −f resulta que

−f(ξ_{0}) ≤ lim inf_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{−f}(z).

Ahora, si u ∈ L_{f} y v ∈ L_{−f}, u + v es subarmónica en D y

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}}(u(z) + v(z)) ≤ 0

para todo ξ ∈ ∂D, con lo que u + v ≤ 0 en D por el principio del máximo. Es decir, u + v ≤ 0 en D si u ∈ L_{f} y v ∈ L_{−f}. Tomando primero supremo en u y después en v se obtiene que H_{−f} ≤ −H_{f}.

Entonces

−f(ξ_{0}) ≤ lim inf_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}}(−H_{f}(z)) = − lim sup_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z),

o sea,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) ≤ f(ξ_{0}),

lo que junto con (1) implica que

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) = f(ξ_{0}).

Esto prueba que ξ_{0} es un punto regular para el problema de Dirichlet.

Supongamos ahora que ξ_{0} = ∞. Como D ≠ ℂ existe algún punto a ∈ ℂ \ D y podemos considerar la transformación de Möbius T z = \frac{1}{z−a}. Ahora, D′ = T (D) es un abierto en ℂ y 0 = T ∞ ∈ ∂D′. Se comprueba fácilmente que como D tiene una barrera en ∞ entonces D′ tiene una barrera en 0. Utilizando la primera parte de la demostración deducimos que 0 es un punto regular para el problema de Dirichlet en D′ y, pasando por T: ℂ^{∗} → ℂ^{∗}, que es un homeomorfismo, obtenemos finalmente que ∞ es un punto regular para el problema de Dirichlet en D, con lo que se termina la demostración.

El recíproco del Teorema 2 es cierto en muchos casos pero no en general. Así, se tiene:

Proposición 5. Sea D un dominio en ℂ con \overline{D} ⊊ ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si ξ_{0} es un punto regular para el problema de Dirichlet en D entonces D tiene una barrera en ξ_{0}.

Demostración. Supongamos en primer lugar que D es acotado. Sea

f(ξ) = |ξ − ξ_{0}|, ξ ∈ ∂D.

Como f ∈ C(∂D), podemos considerar u = H_{f}. Entonces u es armónica en D y lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}}u(z) = 0. Como la función

v(z) = |z − ξ_{0}|, z ∈ D,

es subarmónica en D y

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} v(z) = f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D,

tenemos que v ∈ L_{f} y por tanto

|z − ξ_{0}| ≤ u(z), para todo z ∈ D.

Entonces para cada δ > 0, sea b_{δ}(z) = \frac{u(z)}{δ}. Es claro que \{b_{δ}\}_{δ>0} es una barrera en ξ_{0}.

Supongamos ahora que el dominio D no es necesariamente acotado y \overline{D} ⊊ ℂ. Tomemos a ∈ ℂ \ \overline{D} y consideremos la transformación de Möbius T definida por T z = \frac{1}{z−a}. Entonces T (D) es un dominio acotado en ℂ y T ξ_{0} es un punto regular para el problema de Dirichlet en T (D). En consecuencia T (D) tiene una barrera en T ξ_{0}, lo que implica que D tiene una barrera en ξ_{0}.

Más generalmente, se puede demostrar lo siguiente.

Proposición 6. Sea D un dominio en ℂ y supongamos que existen dos puntos ξ_{1}, ξ_{2} ∈ ∂D con ξ_{1} ≠ ξ_{2} y tales que ξ_{1} y ξ_{2} son regulares para el problema de Dirichlet en D. Entonces D tiene una barrera en ξ_{1}.

La demostración de este resultado será postpuesta hasta el final del capítulo. Veamos a continuación un caso en el que regularidad no implica existencia de

barrera.

Teorema 3. Aun cuando ℂ es un dominio regular para el problema de Dirichlet, ℂ no tiene una barrera en ∞.

Para probar este teorema utilizaremos el siguiente resultado que extiende el teorema de Liouville a funciones subarmónicas.

Teorema 4 (Teorema de Liouville). Sea u una función subarmónica en ℂ tal que

(2)  lim sup_{z→∞} \frac{u(z)}{log |z|} ≤ 0.

Entonces u es constante en ℂ.

En particular, si u es subarmónica y acotada superiormente en ℂ entonces u es constante en ℂ.

Indiquemos que tomando u = log |f| con f entera, acotada y no idénticamente nula obtenemos el clásico teorema de Liouville. También debemos indicar que existe una generalización del Teorema 4 para funciones subarmónicas en un dominio no acotado de ℂ .

Demostración del Teorema 4. Como u ≢ −∞, existe z_{0} ∈ ℂ tal que u(z_{0}) ∈ ℝ. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que u(z_{0}) = 0. Entonces hemos de probar que u ≡ 0. Sea A > 0. Como u es subarmónica, es semicontinua superiormente y, por tanto, el conjunto

F_{A} = {z ∈ ℂ : u(z) ≥ A}

es un cerrado. Como z_{0} ∉ F_{A}, existe δ > 0 tal que

(3)  F_{A} ⊂ V_{δ} = {z ∈ ℂ : |z − z_{0}| > δ}.

Dado ε > 0, sea

u_{ε}(z) = u(z) − A − ε log \frac{|z − z_{0}|}{δ}, z ∈ V_{δ}.

Entonces u_{ε} es subarmónica en V_{δ}. Si |ξ − z_{0}| = δ entonces, utilizando la subarmonicidad de u y (1.3), deducimos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈V_{δ} \end{matrix}} u_{ε}(z) ≤ u(ξ) − A ≤ 0.

Por otra parte, (2) claramente implica que

lim sup_{z→∞} u_{ε}(z) = −∞ ≤ 0.

Por tanto, tenemos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈V_{δ} \end{matrix}} u_{ε}(z) ≤ 0, para todo ξ ∈ ∂V_{δ},

y, por el principio del máximo,

u_{ε}(z) ≤ 0, para todo ξ ∈ V_{δ}.

Como F_{A} ⊂ V_{δ}, en particular

u_{ε}(z) ≤ 0, para todo ξ ∈ F_{A}.

Haciendo tender ε a 0 obtenemos

u(z) ≤ A, para todo z ∈ F_{A}.

Ahora bien, por la definición de F_{A}, se tiene trivialmente que u(z) ≤ A si z ∉ F_{A}. Por tanto,

u(z) ≤ A, para todo z ∈ ℂ.

Como A > 0 es arbitrario deducimos que

u(z) ≤ 0, para todo z ∈ ℂ,

lo que implica, utilizando el principio del máximo y que u(z_{0}) = 0, que u(z) = 0 para todo z ∈ ℂ, finalizando la demostración.

Demostración del Teorema 3. Si ℂ tuviera una barrera en ∞, entonces existiría una función superarmónica, positiva y no constante en ℂ, o equivalentemente, una función subarmónica, negativa y no constante en ℂ. Esto va en contradicción con el Teorema 4.

Aunque ha jugado un importante papel en la demostración del Teorema 2, la condición (b) en la definición de barrera puede omitirse. Este hecho simplifica las demostraciones de existencia de barreras. Lo demostraremos en primer lugar para el caso de abiertos acotados, y el caso de D abierto arbitrario será obtenido más adelante.

Teorema 5 (Teorema de Bouligand). Sea D un abierto acotado en ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si existe una función w: D → (0, ∞] superarmónica, tal que lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} w(z) =

0, entonces D tiene una barrera en ξ_{0}.

Demostración. Elijamos δ_{0} > 0 de forma que el conjunto {z : |z − ξ_{0}| = δ_{0}} corte a D y fijemos δ tal que 0 < δ ≤ δ_{0}.

Sea f: ∂D → ℝ la función continua definida por f(ξ) = |ξ − ξ_{0}|, y denotemos K = max{f(ξ) : ξ ∈ ∂D}, que es un número positivo porque de lo contrario ∂D se reduciría al punto ξ_{0}. Como la función que a cada z ∈ D le asocia |z − ξ_{0}| es subarmónica en D, está en L_{f} y por tanto

(4)  |z − ξ_{0}| ≤ H_{f}(z) ≤ K,  z ∈ D.

Fijemos ahora ρ tal que 0 < ρ < δ y definamos los conjuntos

D_{ρ} = {z : |z − ξ_{0}| < ρ},
γ_{ρ} = {z : |z − ξ_{0}| = ρ},
γ_{ρ}^{∗} = γ_{ρ} ∩ D.

Observemos que γ_{ρ}^{∗} es no vacío y, como es un abierto de γ_{ρ}, long(γ_{ρ}^{∗}) > 0. Podemos elegir un subconjunto cerrado no vacío E de γ_{ρ}, contenido en γ_{ρ}^{∗}, tal que

long(γ_{ρ}^{∗} \ E) < \frac{2πρ^{2}}{K} .

Por ser w semicontinua inferiormente en el compacto E, w alcanza un mínimo en E. Sea m = min{w(z) : z ∈ E}, y notemos que m > 0.

La función v = K · P^{ξ_{0},ρ}[ χ_{γ_{ρ}^{∗}\E} ] es armónica en D_{ρ}, y

v(ξ_{0}) = K \frac{long(γ_{ρ}^{∗} \ E)}{2πρ} < ρ.

Si φ ∈ L_{f}, definimos la función

ψ(z) = φ(z) − ρ − \frac{Kw(z)}{m} − v(z), z ∈ D ∩ D_{ρ},

que es subarmónica en D ∩ D_{ρ}.

Si ξ ∈ ∂D y |ξ − ξ_{0}| ≤ ρ, tenemos

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}} ψ(z) ≤ lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}}(φ(z) − ρ) ≤ f(ξ) − ρ = |ξ − ξ_{0}| − ρ ≤ 0.

Si ξ ∈ γ_{ρ}^{∗}\E, como γ_{ρ}^{∗}\E es un abierto de γ_{ρ}, χ_{γ_{ρ}^{∗}\E} es continua en ξ y lim_{z→ξ}v(z) = K. Observando además que φ(z) ≤ K para todo z ∈ D deducimos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}} ψ(z) ≤ lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}}(φ(z) − v(z)) ≤ 0.

Por último, si ξ ∈ E, teniendo en cuenta que lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}}(−w(z)) ≤ −w(ξ) ≤ −m, obtenemos la misma desigualdad

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}} ψ(z) ≤ lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}} (φ(z) − \frac{Kw(z)}{m}) ≤ 0.

Entonces

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D∩D_{ρ} \end{matrix}} ψ(z) ≤ 0, para todo ξ ∈ ∂(D ∩ D_{ρ}),

de lo que se deduce por el principio del máximo que ψ(z) ≤ 0 para todo z ∈ D∩D_{ρ}, es decir,

φ(z) ≤ ρ + \frac{Kw(z)}{m} + v(z), para todo z ∈ D ∩ D_{ρ}.

Esta última desigualdad es válida para cualquier φ ∈ L_{f}, por consiguiente

H_{f}(z) ≤ ρ + \frac{Kw(z)}{m} + v(z), para todo z ∈ D ∩ D_{ρ}.

Ahora bien, lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}}w(z) = 0 y v es continua en ξ_{0} con v(ξ_{0}) < ρ, entonces

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) ≤ ρ + 0 + ρ = 2ρ.

Como ρ ∈ (0, δ) es arbitrario, obtenemos

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) ≤ 0,

lo que implica, observando que H_{f} ≥ 0, que

(5)  lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} H_{f}(z) = 0.

Definimos b_{δ} = \frac{H_{f}}{δ}. Entonces b_{δ} es armónica en D y, utilizando (4) y (5), vemos que b_{δ} satisface las condiciones de barrera. Esto finaliza la demostración.

4. Condiciones geométricas que implican la regularidad.

El siguiente resultado muestra una condición geométrica para que un punto sea regular para el problema de Dirichlet, que a continuación generalizaremos. No obstante, por su simplicidad incluimos la demostración de este caso particular.

Teorema 6. Sea D un dominio acotado en ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si existe un segmento [ξ_{0}, ξ_{1}] con ξ_{0} ≠ ξ_{1} tal que [ξ_{0}, ξ_{1}] ⊂ ℂ \ D, entonces ξ_{0} es un punto regular para el problema de Dirichlet en D.

Demostración. Consideremos la transformación de Möbius T (z) = \frac{z−ξ_{0}}{z−ξ_{1}} . Es claro que T (D) es un dominio D′ en ℂ con 0 ∈ ∂D′ y (−∞, 0] ⊂ ℂ \ D′. Existe entonces una rama de \sqrt{z} en D′: la restricción a D′ de la rama principal de \sqrt{z} en ℂ\(−∞, 0], mediante la cual D′ se transforma en un dominio D′′ en ℂ, de forma que 0 ∈ ∂D′′ y D′′ ⊂ {z ∈ ℂ : Re z > 0}. La función que a cada z de D′′ le asigna su parte real es armónica y positiva en D′′ y su límite en 0 es 0. La función

u(z) = Re \sqrt{\frac{z − ξ_{0}}{z − ξ_{1}}} , z ∈ D,

es entonces armónica y positiva en D, y verifica que

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = 0.

Por el teorema de Bouligand, D tiene una barrera en ξ_{0}, lo que implica, según el Teorema 2, que ξ_{0} es regular para el problema de Dirichlet en D.

Definición. Un subconjunto de un espacio topológico es un continuo si es compacto, conexo y no se reduce a un punto.

El siguiente teorema da una condición geométrica que implica regularidad bastante más general que la del Teorema 6.

Teorema 7. Sea D un abierto en ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si existe un continuo γ en ℂ^{∗} tal que

(a) ξ_{0} ∈ γ,

(b) γ ⊂ ℂ^{∗} \ D,

entonces D tiene una barrera en ξ_{0} y, por tanto, ξ_{0} es un punto regular para el problema de Dirichlet en D.

La demostración la haremos trasladando el problema, mediante una transformación de Möbius, al caso de un continuo γ en ℂ^{∗} con 0, ∞ ∈ γ. En el Lema 3 resolveremos este caso, y para su demostración usaremos el siguiente resultado.

Lema 2. Si γ es un continuo en ℂ^{∗} tal que 0, ∞ ∈ γ, entonces existe una rama de log z en el abierto ℂ^{∗} \ γ.

Demostración. Basta probar que en cada componente de ℂ^{∗} \ γ existe una rama de log z. Sea Ω una componente de ℂ^{∗} \γ. Supongamos que Γ es un camino cerrado en Ω. Al ser γ conexo y estar contenido en ℂ^{∗} \ sop Γ, deducimos que γ está contenido en una componente de ℂ^{∗} \ sop Γ, que además es la no acotada puesto que ∞ ∈ γ. Ahora bien, sabemos que n(Γ, z) = 0 para todo z en la componente no acotada de ℂ^{∗} \ sop Γ. Por tanto,

n(Γ, a) = 0, a ∈ γ.

En particular n(Γ, 0) = 0, es decir,

∫_{Γ} \frac{1}{z} dz = 0.

Hemos probado que ∫_{Γ} \frac{1}{z} dz = 0 para todo camino cerrado Γ en Ω, lo que equivale a que existe una rama de log z en Ω.

Lema 3. Sea γ un continuo en ℂ^{∗} tal que 0, ∞ ∈ γ, y supongamos que ℂ^{∗} \ γ es no acotado. Entonces ℂ^{∗} \ γ tiene una barrera en ∞.

Demostración. Denotemos por Ω a ℂ^{∗} \ γ. Sea l una rama de log z en Ω, cuya existencia asegura el Lema 2.

Fijemos R > 0 tal que Ω ∩ ∂Δ(0, R) sea no vacío, y definamos el conjunto

E = l(Ω) ∩ {log R + iy : y ∈ ℝ} = l(Ω ∩ ∂Δ(0, R)).

Como Ω es abierto, entonces Ω ∩ ∂Δ(0, R) es la unión de una familia numerable de intervalos abiertos de ∂Δ(0, R) disjuntos dos a dos. Digamos que

Ω ∩ ∂Δ(0, R) = ⋃_{k} {Re^{iθ} : θ_{k} < θ < φ_{k}}.

Notemos que, al ser estos intervalos disjuntos dos a dos, ∑(φ_{k} − θ_{k}) ≤ 2π. Para cada k tenemos que l({Re^{iθ} : θ_{k} < θ < φ_{k}}) es un intervalo de la recta vertical {z : Re z = log R}, de la forma (log R + iα_{k}, log R + iβ_{k}), con α_{k}, β_{k} ∈ ℝ y β_{k} − α_{k} = φ_{k} − θ_{k}. Además, como los intervalos {Re^{iθ} : θ_{k} < θ < φ_{k}} son disjuntos dos a dos, lo mismo sucede con los intervalos (log R+iα_{k}, log R+iβ_{k}). En resumen, hemos visto que E puede expresarse como la unión de una familia numerable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos,

E = ⋃_{k} (log R + iα_{k}, log R + iβ_{k}),

con α_{k}, β_{k} ∈ ℝ, α_{k} < β_{k} para todo k y

∑_{k}(β_{k} − α_{k}) ≤ 2π.

Para cada k, sea h_{k}: {z ∈ ℂ : Re z > log R} → ℝ definida por

h_{k}(z) = Arg \frac{z − log R − iα_{k}}{z − log R − iβ_{k}} .

Observemos que h_{k}(z) coincide con el ángulo { \atop log R + iβ_{k}, z, log R + iα_{k}}. Es claro que h_{k} es armónica y que 0 < h_{k} < π.

Podemos considerar entonces la función h = ∑_{k} h_{k}, que es armónica en el semiplano {z : Re z > log R}, ya que el teorema de Harnack implica que h es o bien idénticamente infinito o bien armónica, pero es geométricamente claro que 0 < h < π. Por tanto h es armónica en {z : Re z > log R} y 0 < h < π.

Sea ξ ∈ E. Tomemos k_{0} tal que ξ ∈ (log R + iα_{k_{0}}, log R + iβ_{k_{0}}). Teniendo en cuenta que h_{k_{0}} ≤ h < π y que lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ Re z>0 \end{matrix}} h_{k_{0}}(z) = π, deducimos que

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ Re z>0 \end{matrix}} h(z) = π.

Vamos a probar ahora que lim_{Re z→∞} h(z) = 0. Sea {z_{j}}_{j=1}^{∞} una sucesión en el

semiplano {z ∈ ℂ : Re z > log R} tal que lim_{j→∞} Re z_{j} = ∞. Fijemos z_{0} ∈ ℂ con

log R < Re z_{0} < Re z_{j} para todo j y denotemos z_{j}^{(k)} = Re z_{j} + i\frac{1}{2}(α_{k} + β_{k}) para j ≥ 0 y para cada k. Se puede comprobar sin dificultad que

(6)  h_{k}(z_{j}) ≤ h_{k}(z_{j}^{(k)}) ≤ h_{k}(z_{0}^{(k)}).

Teniendo en cuenta que α ≤ tan α si 0 < α < \frac{π}{2} , deducimos que

(7)  \frac{h_{k}(z_{0}^{(k)})}{2} ≤ \frac{β_{k} − α_{k}}{2} \frac{1}{Re z_{0} − log R},

para cada k. Como la serie ∑_{k}(β_{k}−α_{k}) es convergente, (7) implica que ∑_{k} h_{k}(z_{0}^{(k)}) también lo es. Como además, lim_{j→∞} h_{k}(z_{j}) = 0 para todo k, (6), el teorema de la

convergencia dominada y la definición de h prueban que

lim_{j→∞} h(z_{j}) = 0.

En consecuencia, lim_{Re z→∞} h(z) = 0.

Sea w: ℂ → ℝ definida por

w(z) = \{ \begin{matrix}h(z), & si Re z > log R, \\ π, & si Re z ≤ log R. \end{matrix}

Tenemos que w es continua en l(Ω) y armónica en l(Ω) \ E. Además, si ξ ∈ E y ρ > 0 es tal que \overline{Δ}(ξ, ρ) ⊂ l(Ω),

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} w(ξ + ρe^{iθ}) dθ ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} π dθ = π = w(ξ),

de lo que se sigue que w es superarmónica en l(Ω). Por otra parte, w > 0 y satisface que lim_{\begin{matrix}Re z→∞ \\ z∈l(Ω) \end{matrix}} w(z) = 0.

La función v = w ∘ l es entonces superarmónica y positiva en Ω, y satisface que

lim_{\begin{matrix}z→∞ \\ z∈Ω \end{matrix}} v(z) = 0.

Además, observemos que si z ∈ Ω y |z| = R entonces l(z) ∈ E y por tanto

v(z) = w(l(z)) = π,

y si z ∈ Ω y |z| < R entonces Re l(z) < log R con lo que también v(z) = π. En consecuencia tenemos que

v(z) = π para todo z ∈ Ω con |z| ≤ R.

Definamos ahora b_{R}(z) = \frac{v(z)}{π}, z ∈ Ω. Entonces b_{R} es una función superarmónica y positiva en Ω con lim_{\begin{matrix}z→∞ \\ z∈Ω \end{matrix}} b_{R}(z) = 0 y b_{R}(z) = 1 si |z| ≤ R, z ∈ Ω.

Como Ω es un abierto no acotado en ℂ, existe una sucesión de números positivos {R_{n}}_{n=1}^{∞} con lim_{n→∞} R_{n} = ∞ y tal que Ω ∩ ∂Δ(0, R_{n}) es no vacío. Para cada n, el argumento anterior prueba que existe una función b_{R_{n}} superarmónica y positiva en Ω con lim_{\begin{matrix}z→∞ \\ z∈Ω \end{matrix}} b_{R_{n}}(z) = 0 y b_{R_{n}}(z) = 1 si |z| ≤ R_{n}, z ∈ Ω. Esto implica trivialmente

que Ω tiene una barrera en ∞.

Demostración del Teorema 7. Considerando una transformación de Möbius adecuada, podemos suponer que ξ_{0} = ∞ y que 0 ∈ γ. Observemos que como ∞ ∈ ∂D y D ⊂ ℂ^{∗} \ γ entonces ℂ^{∗} \ γ es no acotado. El lema anterior prueba que ℂ^{∗} \ γ tiene una barrera en ∞, y entonces D tiene una barrera en ∞. Ahora del Teorema 2 se sigue que ∞ es un punto regular para el problema de Dirichlet en D.

Utilizando el Teorema 7 tenemos que un abierto cuya frontera sea unión de curvas y arcos de Jordan es regular para el problema de Dirichlet, como por ejemplo una corona, un disco menos un segmento, una banda o un sector. También deducimos que todo dominio simplemente conexo en ℂ es regular para el problema de Dirichlet.

El recíproco del Teorema 7 no es cierto, como muestra el siguiente ejemplo. Sea {r_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión estrictamente decreciente de números reales tal que r_{1} < 1 y lim_{n→∞} r_{n} = 0. Para cada natural n sea γ_{n} un arco cerrado de la circunferencia

\{z : |z| = r_{n}\}, y supongamos que lim_{n→∞} \frac{long(γ_{n})}{r_{n}} = 2π. Consideremos el dominio

D = Δ \ ( ⋃_{n=1}^{∞} γ_{n} ∪ {0}) .

Es claro que no existe un continuo γ en ℂ^{∗} tal que 0 ∈ γ y γ ⊂ ℂ^{∗} \ D. Vamos a probar que sin embargo 0 es un punto regular para el problema de Dirichlet en D.

Para cada n ∈ ℕ sea B_{n} = Δ\ ⋃_{j=1}^{n} γ_{j}, que, por el Teorema 7, es un dominio regular

para el problema de Dirichlet. Sea f_{n}: ∂B_{n} → ℝ la función continua definida por

f_{n}(ξ) = \{ \begin{matrix}1, & si |ξ| = 1, \\ 0, & si ξ ∈ ⋃_{j=1}^{n} γ_{j}, \end{matrix}

y llamemos u_{n} a la solución del problema de Dirichlet en B_{n} con valores frontera f_{n}. Entonces {u_{n}}_{n=1}^{∞} es una sucesión decreciente de funciones armónicas en D. Si u(z) = lim_{n→∞} u_{n}(z) para todo z ∈ D, se obtiene, por el teorema de Harnack, que u es armónica en D.

Consideremos la corona G = {z : r_{1} < |z| < 1} y la función g: ∂G → ℝ definida por g(ξ) = 1 si |ξ| = 1, g(ξ) = 0 si |ξ| = r_{1}. Sea v la solución del problema de Dirichlet en G con valores frontera g. Notemos que v es armónica y positiva en G. Para cada n ∈ ℕ, tenemos que v ≤ u_{n} en ∂G, y por el principio del máximo, v ≤ u_{n} en G. Entonces 0 < v ≤ u en G. Esto implica que u > 0 en G, y por tanto, u > 0 en D.

Para cada n sea g_{n}: ∂Δ(0, r_{n}) → ℝ la función que vale 0 en γ_{n} y 1 en ∂Δ(0, r_{n}) \ γ_{n}, y consideremos la integral de Poisson en el disco de centro 0 y radio r_{n}, v_{n} = P^{0,r_{n}}[g_{n}], función que es armónica en Δ(0, r_{n}). Observemos que como g_{n} es continua en todos los puntos de ∂Δ(0, r_{n}) salvo en los extremos de γ_{n}, v_{n} tiene límite 0 en los puntos de γ_{n} salvo los extremos y tiene límite 1 en ∂Δ(0, r_{n}) \ γ_{n}. Entonces, la Proposición 1 aplicada a u_{n} − v_{n} en Δ(0, r_{n}) afirma que u_{n} ≤ v_{n} en Δ(0, r_{n}), y como u ≤ u_{n} en D tenemos que

(8)  u ≤ v_{n} en Δ(0, r_{n}) ∩ D.

Por otra parte,

v_{n}(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} v_{n}(r_{n}e^{iθ}) dθ = \frac{1}{2π} (2π − \frac{long(γ_{n})}{r_{n}}) , n ∈ ℕ.

Entonces lim_{n→∞} v_{n}(0) = 0, pues hemos supuesto que lim_{n→∞} \frac{long(γ_{n})}{r_{n}} = 2π.

Ahora es fácil probar que

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = 0.

En efecto, fijado ε > 0, existe un natural m con v_{m}(0) < ε y, como v_{m} es continua en 0, podemos elegir δ con 0 < δ < r_{m} tal que v_{m}(z) < ε si |z| < δ. Entonces, (1.8) implica que u(z) ≤ v_{m}(z) < ε, si z ∈ D y |z| < δ.

En resumen, u es una función armónica y positiva en D que tiene límite 0 en 0. Por los Teoremas 5 y 2, 0 es un punto regular para el problema de Dirichlet en D.

A continuación demostraremos que el teorema de Bouligand es cierto para abiertos arbitrarios, no necesariamente acotados.

Teorema 8 (Extensión del teorema de Bouligand). Sea D un abierto en ℂ y sea ξ_{0} ∈ ∂D. Si existe una función w: D → (0, ∞] superarmónica, tal que lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} w(z) = 0, entonces D tiene una barrera en ξ_{0}.

Demostración. Observemos que no puede ser D = ℂ, pues este caso llevaría a contradicción con el Teorema 4. Considerando una transformación de Möbius adecuada podemos suponer que ξ_{0} = 0.

Fijado δ > 0, consideremos el abierto no vacío

D_{δ} = D ∩ Δ(0, δ).

Sea w_{δ} la restricción de w a D_{δ}. Entonces w_{δ} es superarmónica y positiva en D_{δ} y

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈D_{δ} \end{matrix}} w_{δ}(z) = 0.

Utilizando la versión del teorema de Bouligand para abiertos acotados ya probada, deducimos que D_{δ} tiene una barrera en 0 y entonces el Teorema 2 prueba que 0 es un punto regular para el problema de Dirichlet en D_{δ}

Sea f(ξ) = |ξ|, (ξ ∈ ∂D_{δ}). Como f ∈ C(∂D_{δ}), podemos considerar u = H_{f}. Entonces u es armónica y no negativa en D_{δ}. Al ser 0 regular para el problema de Dirichlet en D_{δ} se tiene que

(9)  lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈D_{δ} \end{matrix}} u(z) = 0.

Ahora, si |ξ| = δ y ξ ∈ D entonces ξ ∈ ∂D_{δ}. Aún más, existe todo un arco propio γ de la circunferencia de centro 0 y radio δ con ξ ∈ γ ⊂ ∂D_{δ}. Utilizando el Teorema 7, vemos que ξ es un punto regular para el problema de Dirichlet en D_{δ}. Por tanto

(10)  lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{δ} \end{matrix}} u(z) = δ,  si ξ ∈ D y |ξ| = δ.

Definimos ahora

\begin{aligned}b_{δ}: & D & ⟶ & [0, ∞] \\ & z & ⟼ & b_{δ}(z) = \{ \begin{matrix}\frac{u(z)}{δ}, & si |z| < δ, \\ 1, & si |z| ≥ δ. \end{matrix} \end{aligned}

Entonces b_{δ} es armónica en D\∂Δ(0, δ). También, (1.10) prueba que b_{δ} es continua en D. Además, si ξ ∈ D y |ξ| = δ entonces, como b_{δ} ≤ 1 en todo D, claramente se tiene que

b_{δ}(ξ) = 1 ≥ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} b_{δ}(ξ + ρe^{iθ}) dθ

para todo ρ > 0 suficientemente pequeño. Por tanto vemos que b_{δ} es superarmónica en D. Es claro que b_{δ}(z) ≥ 1 si z ∈ D y |z| ≥ δ, y (1.9) prueba que lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈D \end{matrix}} b_{δ}(z) = 0. Se sigue entonces que D tiene una barrera en 0.

Ahora podemos probar la Proposición 6.

Demostración de la Proposición 6. Sin pérdida de generalidad, supongamos que ξ_{1} ≠ ∞ y ξ_{2} ≠ ∞. Sea R = |ξ_{1} − ξ_{2}| y sea f: ∂D → ℝ definida por

f(ξ) = |ξ − ξ_{1}|,  si |ξ − ξ_{1}| ≤ 2R,
f(ξ) = 2R,  si |ξ − ξ_{1}| > 2R.

Entonces f ∈ C(∂D). Si u = H_{f}, entonces u es armónica en D y lim_{\begin{matrix}z→ξ_{1} \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = 0.

Además, lim_{\begin{matrix}z→ξ_{2} \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = f(ξ_{2}) = R > 0. Por tanto u ≢ 0 en D y en consecuencia,

como u ≥ 0, vemos que u(z) > 0 para todo z ∈ D. El teorema de Bouligand entonces implica que D tiene una barrera en ξ_{1}.