NOTAS SOBRE LA MEDIDA ARMÓNICA Y APLICACIONES

Daniel Girela

Análisis Matemático, Facultad de Ciencias, Universidad de Málaga, 29071 Málaga, Spain e-mail: girela@uma.es

1. Definiciones y propiedades básicas.

Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Dado z ∈ D, consideremos el funcional

\begin{aligned}Λ_{z}: & C(∂D) & ⟶ & ℝ \\ & f & ⟼ & Λ_{z}(f) = H_{f}(z), \end{aligned}

donde H_{f} es la solución del problema de Dirichlet en D con valores frontera f. Es claro que Λ_{z} es lineal y positivo. Por el teorema de representación de Riesz, existen una σ-álgebra M_{z} de subconjuntos de ∂D que contiene a los borelianos y una medida positiva μ_{z} sobre M_{z}, determinadas de forma única por las siguientes propiedades:

(a) H_{f}(z) = ∫_{∂D} f dμ_{z}, para toda f ∈ C(∂D),

(b) μ_{z} es regular,

(c) μ_{z} es completa. Si tomamos f ≡ 1 entonces H_{f} ≡ 1 y en consecuencia tenemos que μ_{z}(∂D) = 1, es decir,

(d) μ_{z} es una probabilidad. A μ_{z} se le denomina la medida armónica de ∂D en z.

Por ejemplo, si D = Δ entonces dado z ∈ Δ la σ-álgebra M_{z} es la de Lebesgue sobre ∂Δ y la medida armónica de ∂Δ en z es

dμ_{z}(e^{it}) = \frac{1}{2π} \frac{1 − |z|^{2}}{|1 − ze^{−it}|^{2}} dt.

Observemos que en este caso la σ-álgebra M_{z} no depende del punto z. Esto es cierto en general.

Lema 1. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet y E un boreliano de ∂D. Si μ_{z_{0}}(E) = 0 para algún z_{0} ∈ D entonces μ_{z}(E) = 0 para todo z ∈ D.

Demostración. Consideremos el conjunto G = {z ∈ D : μ_{z}(E) = 0}, que es no vacío puesto que z_{0} ∈ G.

Sea z_{1} ∈ G y R > 0 tal que Δ(z_{1}, R) ⊂ D. Fijado ε > 0, por la regularidad de μ_{z_{1}} existe un abierto G de ∂D que contiene a E con μ_{z_{1}}(G) < ε. La función χ_{G} es semicontinua inferiormente en el compacto ∂D, por lo que existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} en C(∂D) que satisface que f_{n} ≥ 0 para cada n y f_{n} ↑ χ_{G}. Entonces {H_{f_{n}}}_{n=1}^{∞} es una sucesión creciente de funciones armónicas en D que, por el teorema de Harnack, converge a una función h armónica en D. Tenemos que

h(z) = lim_{n→∞} H_{f_{n}}(z) = lim_{n→∞} ∫_{∂D} f_{n} dμ_{z} = ∫_{∂D} χ_{G} dμ_{z} = μ_{z}(G)

para todo z ∈ D, y en particular, h(z_{1}) = μ_{z_{1}}(G) < ε. Por otra parte, utilizando la desigualdad de Harnack ,

h(z) ≤ 3h(z_{1}), z ∈ Δ (z_{1}, \frac{R}{2}) .

En consecuencia,

μ_{z}(E) ≤ μ_{z}(G) = h(z) ≤ 3h(z_{1}) < 3ε, z ∈ Δ (z_{1}, \frac{R}{2}) ,

y como ε es arbitrario obtenemos que μ_{z}(E) = 0 para todo z ∈ Δ (z_{1}, \frac{R}{2}), es decir, Δ (z_{1}, \frac{R}{2}) ⊂ G, de lo que deducimos que G es abierto.

Sea z_{1} ∈ D \ G y R > 0 tal que Δ(z_{1}, R) ⊂ D. Para probar que Δ (z_{1}, \frac{R}{4}) está contenido en D \ G, supongamos que existe z ∈ Δ (z_{1}, \frac{R}{4}) ∩ G. Entonces tenemos que Δ (z, \frac{R}{2}) ⊂ D, lo que implica que Δ (z, \frac{R}{4}) ⊂ G, por la demostración de que G es abierto. En particular, como z_{1} ∈ Δ (z, \frac{R}{4}) entonces z_{1} ∈ G lo que nos lleva a contradicción. Por tanto Δ (z_{1}, \frac{R}{4}) ⊂ D \ G y en consecuencia G es también un cerrado.

Por la conexión de D deducimos que G = D, o lo que es lo mismo, μ_{z}(E) = 0 para todo z ∈ D.

Proposición 1. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet.

(a) Si E ∈ M_{z_{0}} y μ_{z_{0}}(E) = 0 para algún z_{0} ∈ D entonces E ∈ M_{z} y μ_{z}(E) = 0 para todo z ∈ D.

(b) Si E ∈ M_{z_{0}} para algún z_{0} ∈ D entonces E ∈ M_{z} para todo z ∈ D. Es decir, M_{z} es independiente de z y los conjuntos de medida cero son independientes de z.

Demostración. Sea z_{0} ∈ D y supongamos que E ∈ M_{z_{0}} con μ_{z_{0}}(E) = 0. Como μ_{z_{0}} es regular, existe un boreliano E′ de ∂D que contiene a E tal que μ_{z_{0}}(E′) = 0. Si z ∈ D, por el Lema 1 tenemos que μ_{z}(E′) = 0 que implica, teniendo en cuenta que μ_{z} es completa, que E ∈ M_{z} y μ_{z}(E) = 0, lo que prueba (a).

Sea z_{0} ∈ D y E ∈ M_{z_{0}}. De nuevo por la regularidad de μ_{z_{0}}, existen E′ boreliano de ∂D y E′′ ∈ M_{z_{0}} con μ_{z_{0}}(E′′) = 0 tales que E = E′ ∪ E′′. Si z ∈ D, E′′ ∈ M_{z} por el apartado (a), y por tanto E ∈ M_{z}, lo que prueba (b).

Tenemos entonces que si D es un dominio regular para el problema de Dirichlet, podemos considerar los conjuntos medibles de ∂D sin hacer referencia al punto z. Asimismo podemos hablar de los subconjuntos de ∂D de medida cero, a los que llamaremos conjuntos de medida armónica cero. Como consecuencia inmediata, las funciones medibles definidas en ∂D son independientes de z, así como la norma infinito de una función medible, de lo que se deduce que también L^{∞}(μ_{z}) es independiente de z. De hecho, podemos probar que todos los L^{p}(μ_{z}) para p > 0 lo son.

Proposición 2. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. L^{p}(μ_{z}) es independiente de z si 0 < p ≤ ∞.

Demostración. Como acabamos de ver, el caso p = ∞ se demuestra de forma inmediata. Supongamos ahora que 0 < p < ∞.

Sea z_{0} ∈ D y f: ∂D → ℝ, f ∈ L^{p}(μ_{z_{0}}). Como C(∂D) es denso en L^{p}(μ_{z_{0}}), existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} en C(∂D) que converge a f en L^{p}(μ_{z_{0}}). Pasando si es necesario a una subsucesión podemos suponer que {f_{n}} converge a f en casi todo punto (con respecto a μ_{z_{0}} y entonces, al ser los conjuntos de medida μ_{z} cero independientes de z, con respecto a μ_{z} para cualquier z ∈ D).

Dados m, n ∈ ℕ consideremos la función

\begin{aligned}h_{m,n}: & D & ⟶ & ℝ \\ & z & ⟼ & h_{m,n}(z) = ∫_{∂D} |f_{n} − f_{m}|^{p} dμ_{z} \end{aligned} ,

que es armónica y no negativa en D por ser la solución del problema de Dirichlet en D con valores frontera |f_{n} − f_{m}|^{p}.

A continuación haremos uso del siguiente resultado.

Lema 2 (Desigualdad de Harnack). Sea D un dominio en ℂ y z_{0} ∈ D. Sea K un subconjunto compacto de D. Entonces existe una constante λ = λ(z_{0}, K, D) ≥ 1 tal que para toda función u armónica y no negativa en D se tiene que

\frac{1}{λ}u(z_{0}) ≤ u(z) ≤ λu(z_{0}), para todo z ∈ K.

Este resultado puede obtenerse fácilmente a partir de la desigualdad de Harnack anteriormente usada

\frac{1}{3}u(z_{0}) ≤ u(z) ≤ 3u(z_{0}), para todo z ∈ Δ (z_{0}, \frac{R}{2}),

si u es armónica y no negativa en Δ(z_{0}, R).

Volviendo a la demostración de la Proposición 2, tomemos z ∈ D. Aplicando el Lema 2 con K = {z}, deducimos que existe λ = λ(z_{0}, z) > 0 tal que

h_{m,n}(z) ≤ λh_{m,n}(z_{0}), m, n ∈ ℕ.

Como {f_{n}} es una sucesión de Cauchy en L^{p}(μ_{z_{0}}), tenemos que h_{m,n}(z_{0}) ⟶_{m,n→∞} 0, y entonces deducimos que también

h_{m,n}(z) ⟶_{m,n→∞} 0,

lo que equivale a decir que {f_{n}} es una sucesión de Cauchy y, por tanto, convergente en L^{p}(μ_{z}). Como f_{n} → f c.t.p.(μ_{z}), deducimos que f ∈ L^{p}(μ_{z}) y que f_{n} → f en L^{p}(μ_{z}).

Hemos demostrado que si f ∈ L^{p}(μ_{z_{0}}) para algún z_{0} ∈ D y toma valores reales, entonces f ∈ L^{p}(μ_{z}) para todo z ∈ D. La hipótesis de que f toma valores reales se puede suprimir sin más que considerar el valor absoluto de f. Se sigue entonces que L^{p}(μ_{z}) es independiente de z, lo que termina la demostración.

Vamos a ver ahora que la medida armónica es invariante frente a aplicaciones conformes.

Proposición 3. Sean D y D′ dos dominios regulares para el problema de Dirichlet y ϕ: \overline{D} → \overline{D′} un homeomorfismo de \overline{D} sobre \overline{D′} tal que ϕ(D) = D′ y ϕ es conforme de D sobre D′. Si α ∈ D y β = ϕ(α) entonces:

a) Dado E ⊂ ∂D′, E es M_{β}-medible si y sólo si ϕ^{−1}(E) es M_{α}-medible,

b) μ_{β}(E) = μ_{α}(ϕ^{−1}(E)) para todo subconjunto M_{β}-medible E de ∂D′.

Demostración. Sea M = {E ⊂ ∂D′ : ϕ^{−1}(E) es un boreliano de ∂D}. Es claro que M es una σ-álgebra sobre ∂D′, que contiene a los abiertos, puesto que ϕ es continua. Entonces M contiene a todos los subconjuntos de Borel y, en consecuencia, a) es cierto si E es un boreliano de ∂D′.

Si f ∈ C(∂D′), entonces f ∘ ϕ ∈ C(∂D), y H_{f} ∘ ϕ es continua en \overline{D}, armónica en D, y coincide con f ∘ ϕ en ∂D. Por la unicidad de la solución del problema de Dirichlet en D con valores frontera f ∘ϕ tenemos que H_{f} ∘ϕ = H_{f∘ϕ} y, en particular,

∫_{∂D′} f dμ_{β} = ∫_{∂D}(f ∘ ϕ) dμ_{α}.

Usando esta igualdad vamos a probar que para los conjuntos abiertos se verifica b). Sea E un abierto de ∂D′. Como χ_{E} es semicontinua inferiormente en ∂D′, existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} en C(∂D′) tal que f_{n} ↑ χ_{E} en ∂D′. Podemos suponer que f_{n} ≥ 0 para cada n. Entonces

∫_{∂D′} f_{n} dμ_{β} = ∫_{∂D}(f_{n} ∘ ϕ) dμ_{α}, para todo n ∈ ℕ.

El teorema de la convergencia monótona implica que

∫_{∂D′} χ_{E} dμ_{β} = ∫_{∂D}( χ_{E} ∘ ϕ) dμ_{α},

esto es, μ_{β}(E) = μ_{α}(ϕ^{−1}(E)).

Si ahora E es un subconjunto M_{β}-medible de ∂D′ con μ_{β}(E) = 0, existe una sucesión decreciente de abiertos {U_{n}}_{n=1}^{∞} de ∂D′, tal que U_{n} ⊃ E para todo n y lim_{n→∞} μ_{β}(U_{n}) = 0. Tenemos que

μ_{α} ( ⋂_{n=1}^{∞} ϕ^{−1}(U_{n})) = lim_{n→∞} μ_{α}(ϕ^{−1}(U_{n})) = lim_{n→∞} μ_{β}(U_{n}) = μ_{β} ( ⋂_{n=1}^{∞} U_{n}) = 0.

Observando además que

ϕ^{−1}(E) ⊂ ϕ^{−1} ( ⋂_{n=1}^{∞} U_{n}) = ⋂_{n=1}^{∞} ϕ^{−1}(U_{n}),

por la completitud de la medida μ_{α} deducimos que ϕ^{−1}(E) es M_{α}-medible y μ_{α}(ϕ^{−1}(E)) = 0.

El siguiente paso es considerar un boreliano E de ∂D′. De la misma forma que antes, existe una sucesión decreciente de abiertos {U_{n}}_{n=1}^{∞} de ∂D′, tal que U_{n} ⊃ E para todo n y lim_{n→∞}μ_{β}(U_{n}) = μ_{β}(E). Por simplicidad, denotemos por U a la intersección de los U_{n}. Entonces

μ_{β}(E) = μ_{β}(U) = μ_{α}(ϕ^{−1}(U)) = μ_{α}(ϕ^{−1}(E)) + μ_{α}(ϕ^{−1}(U \ E)).

Ahora bien, como U \ E es de medida armónica cero, ϕ^{−1}(U \ E) también lo es, de modo que μ_{β}(E) = μ_{α}(ϕ^{−1}(E)).

Por último, sea E un subconjunto M_{β}-medible cualquiera de ∂D′. Por la regularidad de μ_{β}, existen dos subconjuntos disjuntos de ∂D′ con E_{1} boreliano y E_{2} de medida armónica cero tales que E = E_{1} ∪ E_{2}. Haciendo uso de los casos probados anteriormente, es claro que ϕ^{−1}(E) es M_{α}-medible y μ_{β}(E) = μ_{α}(ϕ^{−1}(E)), lo que finaliza la demostración.

2. Expresión integral de la solución del problema de Dirichlet I.

Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si f ∈ C(∂D) tenemos

H_{f}(z) = ∫_{∂D} f dμ_{z}, z ∈ D.

De forma más general, si f es una función medible con respecto a la medida armónica definida en ∂D y z ∈ D denotaremos

u_{f}(z) = ∫_{∂D} f dμ_{z},

siempre que esta integral tenga sentido, es decir, siempre que f sea integrable en sentido amplio con respecto a μ_{z}. Observemos que si f ∈ C(∂D) entonces u_{f} es una función armónica en D, pues coincide con H_{f}. Si f: ∂D → ℝ está en L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D, es claro que u_{f} está definida en todo el dominio D y toma valores reales. Vamos a probar que en este caso u_{f} también es armónica.

Proposición 4. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si f: ∂D → ℝ está en L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D, entonces u_{f} es armónica en D.

Demostración. Fijamos z_{0} ∈ D. De la misma forma que en la demostración de la Proposición 2, sea {f_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión en C(∂D) que converge a f en L^{1}(μ_{z_{0}}) y también en casi todo punto (con respecto a μ_{z} para cualquier z ∈ D). Asimismo, definimos la función

h_{m,n}(z) = ∫_{∂D} |f_{n} − f_{m}| dμ_{z}, z ∈ D,

para cada par de naturales m y n.

Utilizando el Lema 2, se deduce que h_{m,n}(z)⟶_{m,n→∞}0 uniformemente en cada subconjunto compacto de D. Como además,

|u_{f_{n}}(z) − u_{f_{m}}(z)| = |∫_{∂D}(f_{n} − f_{m}) dμ_{z}| ≤ ∫_{∂D} |f_{n} − f_{m}| dμ_{z} = h_{m,n}(z),

si m, n ∈ ℕ y z ∈ D, deducimos que {u_{f_{n}}} es una sucesión de funciones armónicas en D que converge uniformemente en cada compacto a una función u, que es por tanto armónica en D.

Teniendo en cuenta que f es el límite de {f_{n}} en L^{1}(μ_{z}) para todo z ∈ D, se sigue que

u(z) = lim_{n→∞} u_{f_{n}}(z) = lim_{n→∞} ∫_{∂D} f_{n} dμ_{z} = ∫_{∂D} f dμ_{z} = u_{f}(z), z ∈ D,

es decir, u con u_{f} en D, con lo que u_{f} es armónica en D.

La siguiente proposición pone de manifiesto que en puntos de D próximos a un punto ξ_{0} ∈ ∂D, la probabilidad tiende a concentrarse en ξ_{0}. A continuación, y haciendo uso de este resultado, probaremos un teorema sobre convergencia en la frontera de u_{f}, en el caso de una función f de L^{∞}(μ_{z}) con z ∈ D que sea continua en un punto.

Proposición 5. Si D es un dominio regular para el problema de Dirichlet y ξ_{0} ∈ ∂D, entonces para todo α > 0,

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} μ_{z}(\{ξ ∈ ∂D : ρ(ξ, ξ_{0}) ≥ α\}) = 0.

Demostración. Por el lema de Urysohn, existe f ∈ C(∂D) tal que 0 ≤ f ≤ 1, con f(ξ) = 0 si ρ(ξ, ξ_{0}) < \frac{α}{2} y f(ξ) = 1 si ρ(ξ, ξ_{0}) ≥ α. Si denotamos por A al conjunto {ξ ∈ ∂D : ρ(ξ, ξ_{0}) ≥ α}, tenemos que

μ_{z}(A) = ∫_{∂D} χ_{A} dμ_{z} ≤ ∫_{∂D} f dμ_{z} = H_{f}(z), z ∈ D,

lo que implica, teniendo en cuenta que H_{f} converge en ξ_{0} a f(ξ_{0}) = 0, que

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} μ_{z}(A) = 0,

como queríamos probar.

Teorema 1. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si f ∈ L^{∞}(μ_{z}) con z ∈ D, y es continua en un punto ξ_{0} de ∂D, entonces

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} u_{f}(z) = f(ξ_{0}).

Demostración. Dado ε > 0, como f es continua en ξ_{0}, existe α > 0 tal que si ξ ∈ ∂D y ρ(ξ, ξ_{0}) < α entonces |f(ξ) − f(ξ_{0})| < \frac{ε}{2}. Según la Proposición 5,

lim_{\begin{matrix}z→ξ_{0} \\ z∈D \end{matrix}} μ_{z}(\{ξ ∈ ∂D : ρ(ξ, ξ_{0}) ≥ α\}) = 0,

por lo que podemos asegurar que existe δ > 0 tal que si z ∈ D y ρ(z, ξ_{0}) < δ entonces

μ_{z}(\{ξ ∈ ∂D : ρ(ξ, ξ_{0}) ≥ α\}) < \frac{ε}{4(∥f∥_{∞} + 1)} ·

Luego, si z ∈ D y ρ(z, ξ_{0}) < δ tenemos que

|u_{f}(z) − f(ξ_{0})| = |∫_{∂D} f dμ_{z} − f(ξ_{0})| ≤ ∫_{∂D}|f(ξ) − f(ξ_{0})| dμ_{z}(ξ)

= ∫_{{ξ∈∂D:ρ(ξ,ξ_{0})≥α}}|f(ξ) − f(ξ_{0})| dμ_{z}(ξ) + ∫_{{ξ∈∂D:ρ(ξ,ξ_{0})<α}}|f(ξ) − f(ξ_{0})| dμ_{z}(ξ)

≤ 2∥f∥_{∞} \frac{ε}{4(∥f∥_{∞} + 1)} + \frac{ε}{2} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

En resumen, para cada ε > 0 hemos encontrado δ > 0 tal que si z ∈ D y ρ(z, ξ_{0}) < δ entonces |u_{f}(z) − f(ξ_{0})| < ε, lo que termina la demostración.

Algo que aún no hemos probado es que los puntos de ∂D son de medida armónica cero. El siguiente teorema afirma que si D no es denso en ℂ^{∗} esto es cierto.

Teorema 2. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet tal que \overline{D} ≠ ℂ^{∗}. Si ξ_{0} ∈ ∂D entonces el conjunto {ξ_{0}} es de medida armónica cero.

Demostración. Supongamos primero que D es acotado. Entonces la función

u(z) = μ_{z}({ξ_{0}}) = ∫_{∂D} χ_{{ξ_{0}}} dμ_{z}, z ∈ D,

es armónica en D en virtud de la Proposición 4, puesto que χ_{{ξ_{0}}} está en L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D. Además, aplicando el Teorema 1, tenemos que

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = 0, para todo ξ ∈ ∂D \ \{ξ_{0}\}.

Como es claro que u ≤ 1, la extensión del principio del máximo (con un número finito de puntos excepcionales en la frontera) implica que u ≤ 0 en D, pero como sabemos que u ≥ 0 en D obtenemos finalmente que u = 0 en D, o lo que es lo mismo, μ_{z}({ξ_{0}}) = 0 para todo z ∈ D.

Vamos a ver otra forma de demostrar el teorema en el caso de un dominio acotado, esta vez sin utilizar la extensión del principio del máximo aludida.

Fijemos M > 0 tal que D ⊂ Δ(ξ_{0}, M), y para cada natural n definamos la función

\begin{aligned}u_{n}: & D & ⟶ & ℝ \\ & z & ⟼ & u_{n}(z) = min (log \frac{M}{|z−ξ_{0}|}, n) \end{aligned} ·

Cada u_{n} es superarmónica en D, por ser el mínimo de dos funciones superarmónicas en D, y es continua en \overline{D}, ya que en un entorno de ξ_{0} vale n. Si consideramos u_{n} restringida a ∂D entonces H_{u_{n}} ≤ u_{n} en D. Esto es,

H_{u_{n}}(z) ≤ u_{n}(z), z ∈ D, n ∈ ℕ.

Por tanto,

nμ_{z}({ξ_{0}}) = u_{n}(ξ_{0})μ_{z}({ξ_{0}}) ≤ ∫_{∂D} u_{n} dμ_{z} = H_{u_{n}}(z) ≤ u_{n}(z), z ∈ D, n ∈ ℕ.

Ahora bien, fijado z ∈ D, u_{n}(z) = log \frac{M}{|z−ξ_{0}|} a partir de un cierto n, por lo que podemos afirmar que

μ_{z}(\{ξ_{0}\}) ≤ \frac{1}{n} log \frac{M}{|z − ξ_{0}|},

a partir de un cierto n, lo que implica que μ_{z}({ξ_{0}}) = 0.

En el caso general de un dominio D con \overline{D} ≠ ℂ^{∗}, podemos elegir a ∈ ℂ y δ > 0 tales que Δ(a, δ) ⊂ ℂ \ D, y al considerar la transformación de Möbius T z = \frac{1}{z−a}, D se transforma en un dominio regular para el problema de Dirichlet y acotado, para el que ya hemos probado que los puntos de la frontera son de medida armónica cero. Sólo queda ahora aplicar la Proposición 3 y la demostración estará completa.

Notemos que no sólo los puntos sino también los conjuntos finitos e infinitos numerables de ∂D son de medida armónica cero. Por otra parte, la condición \overline{D} ≠ ℂ^{∗} es necesaria, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Sea D = ℂ, que es un dominio regular para el problema de Dirichlet. Entonces ∂D = {∞}, y μ_{z}(∂D) = 1 para z ∈ D, puesto que μ_{z} es una probabilidad, de forma que el conjunto unitario {∞} no es de medida armónica cero.

3. Extensiones del principio del máximo.

Damos paso ahora a dos teoremas de especial importancia en este capítulo. El primero de ellos extiende el principio del máximo si se dispone de una cota válida para todos los puntos de ∂D salvo quizás para los de un conjunto de medida armónica cero. El segundo de estos teoremas proporciona una mayor información si además se tienen dos cotas distintas, cada una de ellas para una parte de ∂D. Para la demostración de ambos teoremas será de utilidad el resultado siguiente.

Proposición 6. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet y sea u subarmónica y acotada superiormente en D. Si definimos

\begin{aligned}U: & ∂D & ⟶ & [−∞, ∞) \\ & ξ & ⟼ & U(ξ) = lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) \end{aligned} ,

tenemos que U es semicontinua superiormente en ∂D, y podemos considerar la función

V (z) = ∫_{∂D} U dμ_{z}, z ∈ D.

Entonces V es armónica en D y u ≤ V.

Demostración. En primer lugar probaremos que U es semicontinua superiormente en ∂D, o de forma equivalente, que U^{−1}([−∞, α)) es un abierto de ∂D para cada α ∈ ℝ. Sea α ∈ ℝ. Dado ξ_{0} ∈ ∂D con U(ξ_{0}) < α, elijamos un número A con U(ξ_{0}) < A < α. Teniendo en cuenta la definición de U, existe δ > 0 tal que si z ∈ D y ρ(z, ξ_{0}) < δ entonces u(z) ≤ A. Si ξ ∈ ∂D y ρ(ξ, ξ_{0}) < δ tenemos que

U(ξ) = lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ A < α,

de lo que deducimos que {ξ ∈ ∂D : ρ(ξ, ξ_{0}) < δ} ⊂ U^{−1}([−∞, α)) y, por tanto, U^{−1}([−∞, α)) es un abierto de ∂D.

Como U es semicontinua superiormente en ∂D, se sigue que U es medible Borel y por consiguiente M_{z}-medible con z ∈ D. Además, U está acotada superiormente en ∂D puesto que u lo está.

Entonces, para cada z ∈ D tiene sentido la integral

V (z) = ∫_{∂D} U dμ_{z},

pudiendo tomar en principio el valor −∞. De hecho, vamos a demostrar que V es armónica en D y u ≤ V.

Por ser U semicontinua superiormente en un compacto, existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} en C(∂D) tal que f_{n} ↓ U en ∂D y podemos elegirla de forma que f_{1} esté acotada superiormente. Usando el teorema de la convergencia monótona se comprueba fácilmente que H_{f_{n}} ↓ V en D. Entonces, V es o bien armónica o bien idénticamente −∞ en D, en virtud del teorema de Harnack. Pero U ≤ f_{n} en ∂D para cada n, lo que implica, según el principio de la mayorante armónica, que u ≤ H_{f_{n}} en D para cada n, y en consecuencia, u ≤ V. En particular, V no puede ser idénticamente −∞, lo que completa la demostración.

Teorema 3 (Extensión del principio del máximo). Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet y u una función subarmónica y acotada superiormente en D. Si E es un subconjunto de ∂D de medida armónica cero y para algún M ∈ ℝ se tiene que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M, para todo ξ ∈ ∂D \ E,

entonces u(z) ≤ M para todo z ∈ D.

Demostración. Sean U y V como en la Proposición 6. Observemos que U ≤ M en ∂D \ E. Entonces, para cada z ∈ D tenemos que

u(z) ≤ V (z) = ∫_{∂D} U dμ_{z} = ∫_{∂D\E} U dμ_{z} ≤ M,

lo que prueba el teorema.

Teorema 4 (Teorema de las dos constantes). Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet y u una función subarmónica y acotada superiormente en D. Supongamos que E_{1}, E_{2} y E_{3} son subconjuntos de ∂D, M_{z}-medibles con z ∈ D, disjuntos dos a dos, cuya unión es ∂D y siendo E_{3} de medida armónica cero. Si existen dos números reales M_{1} y M_{2} tales que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M_{1},  para todo ξ ∈ E_{1},
lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M_{2},  para todo ξ ∈ E_{2},

entonces u(z) ≤ M_{1} μ_{z}(E_{1}) + M_{2} μ_{z}(E_{2}) para todo z ∈ D.

Demostración. Sean U y V como en la Proposición 6. Entonces U ≤ M_{1} en E_{1} y U ≤ M_{2} en E_{2}. En consecuencia,

u(z) ≤ V (z) = ∫_{∂D} U dμ_{z} = ∫_{E_{1}} U dμ_{z} + ∫_{E_{2}} U dμ_{z} ≤ M_{1} μ_{z}(E_{1}) + M_{2} μ_{z}(E_{2}),

para cada z ∈ D. De esta forma está probado el teorema.

4. Expresión integral de la solución del problema de Dirichlet II.

En el capítulo 1 definíamos H_{f} para una función f: ∂D → ℝ acotada, siendo D un abierto en ℂ. Dicha función venía dada por

H_{f}(z) = sup{u(z) : u ∈ L_{f}}, z ∈ D,

donde

L_{f} = \{u: D → [−∞, ∞) : u es subarmónica en D y lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ)
para todo ξ ∈ ∂D},

y resultaba ser armónica en D. En la sección 4.2 hemos visto que si D es un dominio regular para el problema de Dirichlet y f: ∂D → ℝ está en L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D, entonces la función

u_{f}(z) = ∫_{∂D} f dμ_{z}, z ∈ D,

es armónica en D. Además, sabemos que si f ∈ C(∂D) entonces u_{f} coincide con H_{f}. Nuestro próximo objetivo consiste en establecer la igualdad de H_{f} y u_{f} en el caso más general. Para que ambas funciones tengan sentido debemos pedirle a f que sea medible con respecto a la medida armónica y acotada (y por tanto de L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D).

Teorema 5. Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si f: ∂D → ℝ es una función M_{z}-medible con z ∈ D y acotada, entonces H_{f} = u_{f}.

Demostración. Sea u ∈ L_{f}. Como f está acotada y

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ f(ξ), para todo ξ ∈ ∂D,

del principio del máximo se sigue que u está acotada superiormente. Podemos considerar entonces las funciones U y V dadas en la Proposición 6. Tenemos que

u(z) ≤ V (z) = ∫_{∂D} U dμ_{z} ≤ ∫_{∂D} f dμ_{z} = u_{f}(z), z ∈ D.

Entonces u ≤ u_{f} para cada u ∈ L_{f}, y tomando supremo deducimos que H_{f} ≤ u_{f}.

Para probar la otra desigualdad, supongamos en primer lugar que f es semicontinua superiormente en ∂D. Sea {f_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión en C(∂D) tal que f_{n} ↓ f en ∂D, y notemos que u_{f} ≤ u_{f_{n}} para todo n. Si ξ ∈ ∂D,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{f}(z) ≤ lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{f_{n}}(z) = f_{n}(ξ), para todo n ∈ ℕ,

y por tanto,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u_{f}(z) ≤ f(ξ).

Entonces u_{f} ∈ L_{f}, lo que implica que u_{f} ≤ H_{f}.

Si f es semicontinua inferiormente en ∂D, existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} en C(∂D) tal que f_{n} ↑ f en ∂D, y podemos elegirla de forma que f_{1} esté acotada inferiormente. Entonces

H_{f_{n}}(z) = u_{f_{n}}(z) = ∫_{∂D} f_{n} dμ_{z} ⟶_{n→∞} ∫_{∂D} f dμ_{z} = u_{f}(z),

para cada z ∈ D, por el teorema de la convergencia monótona. Además, como f_{n} ≤ f, tenemos que L_{f_{n}} ⊂ L_{f}, y por tanto H_{f_{n}} ≤ H_{f} en D para todo n ∈ ℕ. Entonces deducimos que u_{f} ≤ H_{f}.

Por último, consideremos el caso general de f medible con respecto a la medida armónica y acotada. Fijado z ∈ D, y dado ε > 0, el teorema de Vitali-Carathéodory nos asegura la existencia de funciones f_{1}, semicontinua superiormente y acotada en ∂D, y f_{2}, semicontinua inferiormente y acotada en ∂D, que satisfacen

a) f_{1} ≤ f ≤ f_{2},

b) ∫_{∂D}(f_{2} − f_{1}) dμ_{z} < ε.

De a) se sigue que H_{f_{1}}(z) ≤ H_{f}(z) ≤ H_{f_{2}}(z) y u_{f_{1}}(z) ≤ u_{f}(z) ≤ u_{f_{2}}(z). Por los casos probados anteriormente, H_{f_{1}}(z) = u_{f_{1}}(z) y H_{f_{2}}(z) = u_{f_{2}}(z). Por otra parte, utilizando b),

H_{f_{2}}(z) − H_{f_{1}}(z) = u_{f_{2}}(z) − u_{f_{1}}(z) = ∫_{∂D} f_{2} dμ_{z} − ∫_{∂D} f_{1} dμ_{z} < ε.

Esto implica que u_{f}(z) − H_{f}(z) < ε, y al ser ε arbitrario, u_{f}(z) ≤ H_{f}(z). De esta forma obtenemos la desigualdad u_{f} ≤ H_{f}, y por tanto la igualdad que queríamos probar.

5. Notación y ejemplos.

Sea D un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si z es un punto de D y E es un subconjunto de ∂D medible con respecto a la medida armónica, denotamos por w(z, E; D) a la medida armónica de E en z relativa a D, esto es

w(z, E; D) = μ_{z}(E).

Si fijamos z ∈ D, la función w(z, .; D), que a cada E ∈ M_{z} le asigna w(z, E; D), es una medida en (∂D, M_{z}), la medida armónica de ∂D en z. Si por el contrario fijamos E ⊂ ∂D medible con respecto a la medida armónica, tenemos la función w( . , E; D), que a cada z ∈ D le hace corresponder

w(z, E; D) = μ_{z}(E) = ∫_{∂D} χ_{E} dμ_{z}.

Como χ_{E} ∈ L^{1}(μ_{z}) con z ∈ D, la Proposición 4 prueba que w( . , E; D) es armónica en D. Es claro que 0 ≤ w( . , E; D) ≤ 1. Supongamos además que D es acotado y que E es unión de un número finito de arcos de Jordan,

E = ⋃_{k=1}^{n} I_{k},

y notemos por A al conjunto formado por los extremos de los I_{k}. Entonces χ_{E} es continua en ∂D \ A y por el Teorema 1,

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} w(z, E; D) = χ_{E}(ξ), para todo ξ ∈ ∂D \ A.

Es más, w( . , E; D) es la única función armónica en D comprendida entre 0 y 1 que verifica esto. En efecto, sea u armónica en D con 0 ≤ u ≤ 1 y tal que

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) = χ_{E}(ξ), para todo ξ ∈ ∂D \ A.

Observemos que A es un conjunto finito y por el Teorema 2 es de medida armónica cero. Al aplicar la extensión del principio del máximo a las funciones u−w( . , E; D) y w( . , E; D) − u, deducimos que u = w( . , E; D).

A continuación vamos a presentar algunos ejemplos concretos en los que podemos encontrar una expresión simple para w( . , E; D).

Ejemplo 1. Consideremos Δ^{+} = {z ∈ ℂ : |z| < 1, Im z > 0}, y E = [−1, 1]. Sabemos que Δ^{+} es un dominio regular para el problema de Dirichlet por ser un dominio de Jordan, y E es un boreliano de ∂Δ^{+}, y por tanto medible con respecto a la medida armónica. Para cada z ∈ Δ^{+}, sea α(z) el ángulo { \atop −1, z, 1}, esto es, α(z) = Arg \frac{z−1}{z+1}. Entonces α es una función armónica en Δ^{+}, \frac{π}{2} ≤ α ≤ π, tiene límite π en los puntos de (−1, 1) y tiene límite \frac{π}{2} en los puntos de \{ξ ∈ ℂ : |ξ| = 1, Im ξ > 0\}. Si definimos

u(z) = \frac{2}{π} (α(z) − \frac{π}{2} ) , z ∈ Δ^{+},

tenemos que u es armónica en Δ^{+}, 0 ≤ u ≤ 1 y

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈Δ^{+} \end{matrix}} u(z) = χ_{E}(ξ), para todo ξ ∈ ∂Δ^{+} \ \{−1, 1\}.

Por tanto u = w( . , E; Δ^{+}).

El siguiente ejemplo nos será útil en la demostración del teorema de Lindelöf para funciones de H^{∞}.

Ejemplo 2. Consideremos de nuevo Δ^{+}, y ahora E = [0, 1]. Como ya hemos señalado, Δ^{+} es un dominio regular para el problema de Dirichlet, y E ∈ M_{z} con z ∈ Δ^{+}. Para cada z ∈ Δ^{+} definimos los ángulos

α(= α(z)) = Arg z,
β(= β(z)) = Arg \frac{1 − z}{−z} ,
γ(= γ(z)) = Arg \frac{−1}{z − 1},

y sea

u(z) = \frac{1}{π} (β(z) − γ(z)) = \frac{1}{π} (Arg \frac{1 − z}{−z} − Arg \frac{−1}{z − 1}) .

Es claro que u es una función armónica en Δ^{+}. Como β < π y γ > 0, entonces β − γ < π y, por el teorema del seno, \frac{|z|}{sen γ} = \frac{1}{sen β} para todo z ∈ Δ^{+}, de lo que se sigue que γ < β. Por tanto 0 < β − γ < π, esto es,

(1)  0 < u < 1.

Por último, nos fijamos en el límite de β y γ en los puntos de ∂Δ^{+} \ {0, 1}. En (0, 1) tenemos que β = π y γ = 0, en los puntos de [−1, 0), es claro que β = 0 y γ = 0, y en los de {ξ : |ξ| = 1, Im ξ > 0}, al ser isósceles el triángulo de vértices 0, 1 y ξ, se tiene que β = γ. Deducimos entonces que

(2)  lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈Δ^{+} \end{matrix}} u(z) = χ_{E}(ξ),  para todo ξ ∈ ∂Δ^{+} \ \{0, 1\}.

Ahora tenemos que (1), (2) y el hecho de que u es armónica en Δ^{+} implican que u = w( . , E; Δ^{+}).

Vamos a calcular u de forma explícita, para lo cuál definimos un nuevo ángulo δ de la siguiente manera.

Sea z ∈ Δ^{+} con |z| = r. La recta que pasa por 1 y z corta a la circunferencia de centro 0 y radio r en dos puntos, uno de los cuáles es z, y el otro lo denotamos por z_{1}. Entonces sea δ = Arg z_{1}. Nótese que z_{1} ∈ Δ^{+}, y que puede coincidir con z, en cuyo caso sería δ = α.

Consideremos el triángulo isósceles de vértices 0, z y z_{1}. Sabemos que la suma de sus ángulos es π. Por tanto, si δ > α, tenemos que 2(π − β) + (δ − α) = π, y como α + β + γ = π, entonces δ = β − γ. Cambiando los lugares de z y z_{1} en la figura 4.3, si δ < α, tenemos que 2β + (α − δ) = π, con lo que también es δ = β − γ. Esta igualdad es clara si δ = α, puesto que en este caso β = \frac{π}{2} , lo que implica que α + γ = \frac{π}{2} . Luego hemos probado que

(3)  δ = β − γ.

Calculamos ahora una expresión para δ. Sea z = re^{iα} ∈ Δ^{+}, y supongamos que δ ≠ α. La recta que pasa por 1 y z tiene por ecuación

y = \frac{r sen α}{r cos α − 1}(x − 1),

y pasa por el punto z_{1} = re^{iδ}. Entonces

r sen δ = \frac{r sen α}{r cos α − 1}(r cos δ − 1),

de lo que se sigue que

r(sen δ cos α − sen α cos δ) = sen δ − sen α.

Ahora, aplicando en el miembro de la izquierda las fórmulas del seno de la diferencia y del seno del ángulo doble, y utilizando en el miembro de la derecha la relación sen A − sen B = 2 cos \frac{A+B}{2} sen \frac{A−B}{2} , obtenemos la igualdad

r cos \frac{δ − α}{2} = cos \frac{δ + α}{2}.

Desarrollando el coseno de la diferencia y de la suma, y dividiendo luego ambos miembros por cos \frac{δ}{2} cos \frac{α}{2}, tenemos que

r (1 + tan \frac{δ}{2} tan \frac{α}{2}) = 1 − tan \frac{δ}{2} tan \frac{α}{2},

lo que implica que

(4)  tan \frac{δ}{2} = \frac{1 − r}{1 + r} cotan \frac{δ}{2} ·

Se puede comprobar directamente que (4) también se da si δ = α. En efecto, en este caso cos α = r, con lo que

tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 − r}{1 + r} .

Teniendo en cuenta además (3), deducimos la expresión de u que queríamos calcular: Si z = re^{iα} ∈ Δ^{+}, entonces u(z) = \frac{1}{π} δ, donde δ satisface (4).

18 6. Teoremas de convexidad.

En esta sección haremos uso del principio de mayoración por la medida armónica para demostrar importantes propiedades de convexidad que poseen las funciones subarmónicas. Estos resultados cuando son aplicados a funciones u de la forma u = log |f| con f holomorfa se reducen a clásicos teoremas para funciones holomorfas como son el de las tres circunferencias de Hadamard y el de las tres líneas. Finalizaremos utilizando estos teoremas de convexidad para presentar la demostración del teorema de Liouville para funciones subarmónicas que anunciábamos en el capítulo anterior.

Teorema 6 (Teorema de Hadamard o de las tres circunferencias para funciones subarmónicas). Sea u una función subarmónica en la corona

A(a; R_{1}, R_{2}) = {z ∈ ℂ : R_{1} < |z − a| < R_{2}},

donde a∈ℂ y 0≤R_{1} <R_{2} ≤∞. Para cada r ∈ (R_{1}, R_{2}) sea M(r, u) = max_{|z−a|=r} u(z).

Entonces, si r_{1}, r y r_{2} son números reales tales que R_{1} < r_{1} < r < r_{2} < R_{2}, se tiene que

M(r, u) ≤ \frac{log r_{2} − log r}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{1}, u) + \frac{log r − log r_{1}}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{2}, u).

En otras palabras, M(r, u) es una función convexa de log r en (R_{1}, R_{2}).

Demostración. Haciendo una traslación podemos suponer que a = 0. Fijemos r_{1}, r, r_{2} ∈ ℝ tales que R_{1} < r_{1} < r < r_{2} < R_{2}. La corona D = A(0; r_{1}, r_{2}) es un dominio regular para el problema de Dirichlet. Como la adherencia de D es un compacto contenido en A(0; R_{1}, R_{2}), y u es subarmónica en A(0; R_{1}, R_{2}), deducimos que u está acotada superiormente en D. Por tanto, u es subarmónica y está acotada superiormente en D. Sean E_{1} = {ξ : |ξ| = r_{1}} y E_{2} = {ξ : |ξ| = r_{2}}. Tenemos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M(r_{1}, u),  si ξ ∈ E_{1},
lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D \end{matrix}} u(z) ≤ M(r_{2}, u),  si ξ ∈ E_{2}.

Por el teorema de las dos constantes,

u(z) ≤ M(r_{1}, u) w(z, E_{1}; D) + M(r_{2}, u) w(z, E_{2}; D)

para todo z ∈ D. Ahora, es claro que

w(z, E_{1}; D) = \frac{log r_{2} − log |z|}{log r_{2} − log r_{1}},  z ∈ D,
w(z, E_{2}; D) = 1 − w(z, E_{1}; D) = \frac{log |z| − log r_{1}}{log r_{2} − log r_{1}} ,  z ∈ D.

Por tanto,

u(z) ≤ \frac{log r_{2} − log r}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{1}, u) + \frac{log r − log r_{1}}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{2}, u), si |z| = r,

y en consecuencia,

M(r, u) ≤ \frac{log r_{2} − log r}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{1}, u) + \frac{log r − log r_{1}}{log r_{2} − log r_{1}} M(r_{2}, u),

con lo que se termina la demostración.

Sin más que tomar en este teorema u = log |f| con f holomorfa, deducimos el siguiente resultado.

Teorema 7 (Teorema de las tres circunferencias de Hadamard). Sea f una función holomorfa en la corona

A(a; R_{1}, R_{2}) = {z ∈ ℂ : R_{1} < |z − a| < R_{2}},

donde a ∈ ℂ y 0 ≤ R_{1} < R_{2} ≤ ∞, y supongamos que f no es idénticamente nula. Para cada r ∈ (R_{1}, R_{2}) sea M(r, f) = max_{|z−a|=r} |f(z)|. Entonces, si r_{1}, r y r_{2} son números reales tales que R_{1} < r_{1} < r < r_{2} < R_{2}, se tiene que

log M(r, f) ≤ \frac{log r_{2} − log r}{log r_{2} − log r_{1}} log M(r_{1}, f) + \frac{log r − log r_{1}}{log r_{2} − log r_{1}} log M(r_{2}, f).

En otras palabras, log M(r, f) es una función convexa de log r en (R_{1}, R_{2}).

A continuación pasamos al teorema de las tres líneas que enunciaremos directamente para funciones holomorfas aunque es claro que existe una versión más general del mismo válida para funciones subarmónicas.

Teorema 8 (Teorema de las tres líneas). Sean a y b dos números reales con a < b, y f una función holomorfa y acotada en la banda

S = {z ∈ ℂ : a < Re z < b}.

Supongamos que f no es idénticamente nula, y para cada x ∈ (a, b) sea M(x) = sup_{Re z=x} |f(z)|. Entonces log M(x) es una función convexa en (a, b), es decir, si a < x_{1} < x < x_{2} < b entonces

M(x) ≤ M(x_{1})^{\frac{x_{2}−x}{x_{2}−x_{1}}} · M(x_{2})^{\frac{x−x_{1}}{x_{2}−x_{1}}} .

Demostración. Claramente, basta probar que si M(a) y M(b) son números reales tales que

(5)  lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S \end{matrix}} |f(z)| ≤ M(a),  si Re ξ = a,

y

(6)  lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S \end{matrix}} |f(z)| ≤ M(b),  si Re ξ = b,

entonces M(x) ≤ M(a)^{\frac{b−x}{b−a}} · M(b)^{\frac{x−a}{b−a}} para todo x ∈ (a, b). Además, podemos suponer que M(a) y M(b) son positivos, pues si alguno fuera cero bastaría sustituirlo por cualquier ε > 0 y aplicar (5) y (6), haciendo después que ε tienda a cero.

Sabemos que S es un dominio regular para el problema de Dirichlet. Si u = log |f|, entonces u es una función subarmónica y acotada superiormente en S. Sean E_{1} = {ξ ∈ ℂ : Re ξ = a}, E_{2} = {ξ ∈ ℂ : Re ξ = b} y E_{3} = {∞}. Es claro que E_{1}, E_{2} y E_{3} constituyen una partición en subconjuntos medibles con respecto a la medida armónica de ∂S, donde E_{3} es de medida armónica cero en virtud del Teorema 2. Por (5) y (6),

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S \end{matrix}} u(z) ≤ log M(a),  para todo ξ ∈ E_{1},
lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S \end{matrix}} u(z) ≤ log M(b),  para todo ξ ∈ E_{2}.

Ahora, el teorema de las dos constantes implica que

(7) u(z) ≤ log M(a) w(z, E_{1}; S) + log M(b) w(z, E_{2}; S),  para todo z ∈ S.

Sea v: S → ℝ definida por v(z) = \frac{Re(z−a)}{b−a}. Tenemos que v es armónica en S, 0 ≤ v ≤ 1 y

(8)  lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S \end{matrix}} v(z) = χ_{E_{2}}(ξ),  para todo ξ ∈ ∂S \ \{∞\}.

Utilizando la definición de w( . , E_{2}; S), la Proposición 4 y el Teorema 1, se prueba fácilmente que w( . , E_{2}; S) es también una función armónica en S tal que 0 ≤ w( . , E_{2}; S) ≤ 1 y que satisface (8). Por la extensión del principio del máximo aplicada a v − w( . , E_{2}; S) y a w( . , E_{2}; S) − v deducimos que v = w( . , E_{2}; S), es decir,

(9)  w(z, E_{2}; S) = \frac{Re(z − a)}{b − a},  para todo z ∈ S.

De la misma forma podemos ver que

(10)  w(z, E_{1}; S) = 1 − \frac{Re(z − a)}{b − a},  para todo z ∈ S.

De (7), (9), (10) y la definición de u, se sigue que

log |f(z)| ≤ log M(a) (1 − \frac{Re(z − a)}{b − a}) + log M(b) \frac{Re(z − a)}{b − a},

para todo z ∈ S. Si x ∈ (a, b), entonces para todo z con Re z = x tenemos que

log |f(z)| ≤ log M(a) (\frac{b − x}{b − a}) + log M(b) (\frac{x − a}{b − a}) ,

por tanto,

|f(z)| ≤ M(a)^{\frac{b−x}{b−a}} · M(b)^{\frac{x−a}{b−a}} ,

y como M(x) = sup_{Re z=x} |f(z)|, hemos probado que

M(x) ≤ M(a)^{\frac{b−x}{b−a}} · M(b)^{\frac{x−a}{b−a}} .

22 Así finaliza la demostración.

Indiquemos que el Teorema 7 puede probarse de forma inmediata a partir del Teorema 8 sin más que componer con la exponencial. También queremos indicar que el teorema de las tres líneas constituye un elemento de gran utilidad para demostrar algunos teoremas de interpolación de operadores en espacios L^{p}, como por ejemplo el teorema de interpolación de Riesz-Thorin.

Finalizamos esta sección presentando una demostración del teorema de Liouville para funciones subarmónicas basada en el Teorema 6.

Demostración del Teorema de Liouville. Sea u una función subarmónica en ℂ tal que

lim sup_{z→∞} \frac{u(z)}{log |z|} ≤ 0.

Para cada r > 0, sea M(r) = M(r, u) = max_{|z|=r} u(z). Entonces, haciendo uso del principio del máximo y del Teorema 6, deducimos que M(r) es una función creciente de r y convexa de log r en (0, ∞). Utilizando ahora bien conocidas propiedades de las funciones convexas, deducimos que la derivada lateral por la derecha M′_{+}(r) existe y es no negativa para todo r > 0, y también obtenemos que

(11)  M(ρ_{2}) − M(ρ_{1}) = ∫_{ρ_{1}}^{ρ_{2}} M′_{+}(r) dr, si 0 < ρ_{1} < ρ_{2} < ∞,

y

(12)  \frac{d^{+}M(r)}{d log r} =rM′_{+}(r), es una función creciente de r.

Supongamos que u no es constante. Entonces existe ρ_{1} > 0 tal que M′_{+}(ρ_{1}) > 0. Sea A = ρ_{1}M′_{+}(ρ_{1}). Utilizando (4.11) y (4.12), obtenemos que

M(ρ)−M(ρ_{1}) = ∫_{ρ_{1}}^{ρ} M′_{+}(r) dr ≥ ∫_{ρ_{1}}^{ρ} \frac{ρ_{1}}{r} M′_{+}(ρ_{1}) dr = A ∫_{ρ_{1}}^{ρ} \frac{1}{r} dr = A(log ρ−log ρ_{1}).

para todo ρ > ρ_{1}. En consecuencia, tenemos que

lim inf_{ρ→∞} \frac{M(ρ)}{log ρ} ≥ A > 0,

lo que está en contradicción con (1.2). Por tanto, u es constante.

7. Teoremas de Lindelöf

Definiciones básicas. Si ξ ∈ T y α ∈ (0, \frac{π}{2} ) definimos el dominio de Stölz S_{α}(ξ) como el interior de la envolvente convexa del punto ξ y la circunferencia de centro el origen y radio sen α. Notemos que S_{α}(ξ) está incluido en el sector de vértice ξ y ángulo 2α simétrico con respecto al radio [0, ξ], y contiene a todos los puntos de éste en un entorno de ξ.

Sea f una función definida en el disco unidad Δ con valores complejos (o con valores en ℂ^{∗}), sean ξ ∈ T y L ∈ ℂ^{∗}. Decimos que f tiene el límite radial L en el punto ξ si

lim_{r→1^{−}} f(rξ) = L.

Decimos que f tiene el límite no tangencial L en el punto ξ si

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S_{α}(ξ) \end{matrix}} f(z) = L,

para todo α ∈ (0, \frac{π}{2} ). Por último, decimos que f tiene el valor asintótico L en el punto ξ si existe un arco de Jordan γ en Δ salvo por su extremo, que es ξ, de forma que

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈γ \end{matrix}} f(z) = L.

Es claro que si f tiene el límite no tangencial L en ξ entonces f tiene el valor asintótico L en ξ y, más precisamente, f tiene el límite radial L en ξ. Lindelöf probó que el recíproco de estos resultados es cierto si f ∈ H^{∞}. Este hecho será presentado en los Teoremas 9 y 10 Aunque claramente el Teorema 9 es un caso particular del Teorema 10, incluiremos una demostración del Teorema 9 que utiliza simples argumentos de familias normales. Para demostrar el más general Teorema 10 necesitaremos hacer uso de los resultados de mayoración por la medida armónica. De hecho, aunque el Teorema 9 suele ser conocido como el teorema de Lindelöf radial realmente fue probado por Montel.

Teorema 9 (Teorema de Lindelöf radial). Sea f holomorfa y acotada en Δ, sean ξ ∈ T y L ∈ ℂ. Si f tiene el límite radial L en ξ entonces f tiene el límite no tangencial L en ξ.

Demostración. Sin perder generalidad, y por comodidad en los cálculos, podemos suponer que f está definida en el disco de centro 1 y radio 1 y que tiene límite L cuando z tiende a 0 a lo largo del eje real positivo. Esto es, vamos a probar que si f es holomorfa y acotada en Δ(1, 1), y lim_{r→0^{+}} f(r) = L con L ∈ ℂ, entonces

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ | Arg z|<α \end{matrix}} f(z) = L, para todo α ∈ (0, \frac{π}{2} ).

Para cada natural n, sea f_{n}: Δ(1, 1) → ℂ definida por f_{n}(z) = f (\frac{z}{n}). Entonces {f_{n}}_{n=1}^{∞} es una familia uniformemente acotada de funciones holomorfas en Δ(1, 1) y, por el teorema de Montel , es una familia finitamente normal. Ahora bien, si z ∈ (0, 2) tenemos que

f_{n}(z) = f (\frac{z}{n}) ⟶_{n→∞} L.

Entonces, al aplicar el teorema de Stieltjes-Vitali junto con el teorema de identidad para funciones holomorfas, se deduce que f_{n} converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Δ(1, 1) a la función constantemente igual a L.

Fijado α ∈ (0, \frac{π}{2} ), sea K = \{z : | Arg z| ≤ α, \frac{cos α}{2} ≤ |z| ≤ cos α\} . Es claro que K es un subconjunto compacto de Δ(1, 1).

Entonces f_{n} converge a L uniformemente en K, lo que implica que f converge a L cuando z tiende a 0 dentro del sector | Arg z| < α. En efecto, dado ε > 0 existe un natural n_{0} tal que

(13)  n ≥ n_{0}, z ∈ K ⟹ |f_{n}(z) − L| < ε.

Sea δ = \frac{cos α}{n_{0}} y z ∈ Δ(1, 1) con 0 < |z| < δ y | Arg z| < α. Elegimos el mayor natural n para el que se satisface

(14)  |z| ≤ \frac{cos α}{n}.

Si se tuviese que \frac{cos α}{2} > n|z|, deduciríamos que cos α > 2n|z| ≥ (n + 1)|z| y (4.14) sería cierto para n + 1 contradiciendo la definición de n. Entonces

\frac{cos α}{2} ≤ n|z| ≤ cos α,

25 además | Arg(nz)| = | Arg z| < α, por lo que nz ∈ K. De nuevo por la elección de n, como |z| < δ = \frac{cos α}{n_{0}}, tenemos que n ≥ n_{0}. Aplicando ahora (13), obtenemos |f(z) − L| = |f_{n}(nz) − L| < ε. Esto prueba que

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ | Arg z|<α \end{matrix}} f(z) = L,

terminando así la demostración.

Teorema 10 (Teorema de Lindelöf). Sea f holomorfa y acotada en Δ, sean ξ ∈ T y L ∈ ℂ. Si f tiene el valor asintótico L en ξ entonces f tiene el límite no tangencial L en ξ.

En primer lugar resolveremos el problema en un semidisco, para pasar más tarde a Δ mediante una aplicación conforme.

Teorema 11. Sea g holomorfa y acotada en Δ^{+} = {z ∈ Δ : Im z > 0}, y supongamos que Γ es un arco de Jordan en Δ^{+} salvo por su extremo, que es 0. Si existe lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈Γ \end{matrix}} g(z) y vale L ∈ ℂ, entonces

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ δ<Arg z<π−δ \end{matrix}} g(z) = L

para todo δ ∈ (0, \frac{π}{2} ).

En la demostración utilizaremos el siguiente lema.

Lema 3. Sea g holomorfa en Δ^{+} con |g(z)| < 1 para todo z ∈ Δ^{+}. Supongamos que Γ es un arco de Jordan en Δ^{+} salvo por su origen, que es un punto ξ_{0} con |ξ_{0}| = 1 e Im ξ_{0} > 0, y su extremo, que es 0. Sea ε ∈ (0, 1) y supongamos que |g| < ε en Γ \ {ξ_{0}, 0}. Entonces existe una constante absoluta c > 0 (que puede ser por ejemplo \frac{1}{2π}) tal que para cada δ ∈ (0, \frac{π}{2} ) existe r(δ) ∈ (0, 1) para el que se tiene que

|g(z)| ≤ ε^{c δ}

si 0 < |z| < r(δ) y δ < Arg z < π − δ.

Demostración. Denotemos por S a la semicircunferencia

{ξ ∈ ℂ : |ξ| = 1, Im ξ ≥ 0}.

Sea D_{1} el dominio interior a la curva de Jordan formada por Γ, el segmento [0, 1] y el arco de la semicircunferencia S desde 1 hasta ξ_{0}, y sea D_{2} el dominio interior a la curva de Jordan formada por Γ, el segmento [−1, 0] y el arco de la semicircunferencia S desde −1 hasta ξ_{0} (fig. 3.3). Se sigue que Δ^{+} es la unión disjunta de D_{1}, D_{2} y Γ \ {ξ_{0}, 0}, por lo que podemos decir que Γ divide a Δ^{+} en los dominios D_{1} y D_{2}.

Suponemos que g no es idénticamente nula pues de lo contrario no habría nada que probar. Entonces u = log |g| es subarmónica en Δ^{+} y satisface que u ≤ 0 en Δ^{+} y u ≤ log ε en Γ \ {ξ_{0}, 0}. Consideramos las funciones w_{+} = w( . , [0, 1]; Δ^{+}) y w_{−} = w( . , [−1, 0]; Δ^{+}), que son armónicas en Δ^{+}.

Si ξ ∈ Γ \ {ξ_{0}, 0}, al ser log ε < 0 y 0 ≤ w_{−} ≤ 1, deducimos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{1} \end{matrix}} u(z) = u(ξ) ≤ log ε · w_{−}(ξ).

Si ξ ∈ ∂D_{1} \ Γ, como w_{−} tiene límite 0 en ξ, tenemos que

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{1} \end{matrix}} u(z) ≤ 0 = log ε · lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{1} \end{matrix}} w_{−}(z).

Por tanto,

lim sup_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{1} \end{matrix}} u(z) ≤ log ε · lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈D_{1} \end{matrix}} w_{−}(z)

para todos los puntos ξ de ∂D_{1} salvo para un número finito de ellos. La extensión del principio del máximo aplicada a u − log ε · w_{−} en D_{1} nos dice que

(15)  u(z) ≤ log ε · w_{−}(z),  para todo z ∈ D_{1}.

Un razonamiento similar muestra que

(16)  u(z) ≤ log ε · w_{+}(z),  para todo z ∈ D_{2}.

Además, los puntos de Γ \ {ξ_{0}, 0} satisfacen las dos desigualdades (4.15) y (4.16).

Teniendo en cuenta que Δ^{+} = D_{1} ∪ D_{2} ∪ (Γ \ {ξ_{0}, 0}), tenemos que, si z ∈ Δ^{+}, u(z) ≤ max(log ε · w_{−}(z), log ε · w_{+}(z)), y como log ε < 0, es claro que este máximo coincide con log ε · min(w_{−}(z), w_{+}(z)). Entonces

(17)  u(z) ≤ log ε · min(w_{−}(z), w_{+}(z)),  para todo z ∈ Δ^{+}.

Ahora hacemos una estimación de w_{−} y w_{+}. Sea v: Δ^{+} → ℝ definida por v(z) = \frac{1}{π} Arg z − w_{−}(z). Observemos que v es armónica y acotada en Δ^{+}, tiene límite 0 en los puntos de (−1, 1) salvo en el 0, y tiene límite comprendido entre 0 y 1 en los puntos de S \ {−1, 1}. Si comparamos los valores frontera de v con los de la función idénticamente nula y con los de w( . , S; Δ^{+}), que es armónica en Δ^{+}, obtenemos, por la extensión del principio del máximo, que

0 ≤ v(z) ≤ w(z, S; Δ^{+}), para todo z ∈ Δ^{+}.

Como w( . , S; Δ^{+}) tiende a 0 en 0, vemos que

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈Δ^{+} \end{matrix}} v(z) = 0.

Por la definición de límite, dado δ con 0 < δ < \frac{π}{2} , existe r(δ) ∈ (0, 1) tal que v(z) < \frac{δ}{2π} si z ∈ Δ^{+} y |z| < r(δ). Sea z ∈ Δ^{+} con |z| < r(δ) y además Arg z > δ, tenemos que

\frac{δ}{π} − w_{−}(z) < \frac{1}{π} Arg z − w_{−}(z) = v(z) < \frac{δ}{2π} ,

de donde \frac{δ}{2π} < w_{−}(z). Por tanto,

(18)  \frac{δ}{2π} < w_{−}(z),  si z ∈ Δ^{+}, |z| < r(δ), Arg z > δ.

Por la simetría de la figura, también es cierto que

(19)  \frac{δ}{2π} < w_{+}(z),  si z ∈ Δ^{+}, |z| < r(δ), Arg z > π − δ.

De (4.18) y (4.19) deducimos lo siguiente,

\frac{δ}{2π} < min(w_{−}(z), w_{+}(z)), si 0 < |z| < r(δ), δ < Arg z < π − δ.

Se sigue ahora de (17) que si 0 < |z| < r(δ) y δ < Arg z < π − δ entonces u(z) ≤ \frac{δ}{2π} · log ε y, por tanto,

|g(z)| ≤ ε^{\frac{δ}{2π}} .

Esto prueba el lema con c = \frac{1}{2π}.

Demostración del Teorema 11. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que L = 0 y |g| < 1. Sea δ ∈ (0, \frac{π}{2} ). Fijado ε ∈ (0, 1), existe ρ ∈ (0, 1) tal que

(20)  |g(z)| < ε,  si z ∈ Γ y 0 < |z| < ρ,

y ρ lo elegimos de forma que Γ corte al conjunto {z : Im z > 0, |z| = ρ}. Definimos la función

g̃(z) = g(ρz), z ∈ Δ^{+}.

Entonces g̃ es holomorfa en Δ^{+} y |g̃| < 1. Si Γ: [a, b] → ℂ es una parametrización del arco de Jordan Γ, sea t_{0} = max{t ∈ [a, b] : |Γ(t)| = ρ} y ξ_{0} = Γ(t_{0}), es decir, ξ_{0} es el último punto de corte de Γ y el conjunto {z : Im z > 0, |z| = ρ}. Consideramos Γ̃(t) = ρ^{−1} · Γ(t), t_{0} ≤ t ≤ b. Es claro que Γ̃ es un arco de Jordan en Δ^{+} salvo por su origen, que es el punto ξ̃_{0} = ρ^{−1}ξ_{0} con |ξ̃_{0}| = 1 y Im ξ̃_{0} > 0, y su extremo, que es 0. Ahora, |g̃| < ε en Γ̃ \ {ξ̃_{0}, 0}, pues si z = Γ̃(t) con t_{0} < t < b, tenemos que g̃(z) = g(Γ(t)) y como 0 < |Γ(t)| < ρ, (20) prueba que |g(Γ(t))| < ε. Al aplicar el Lema 3 se obtiene un número r(δ) ∈ (0, 1) para el que se verifica que |g̃(z)| ≤ ε^{c δ} si 0 < |z| < r(δ) y δ < Arg z < π −δ. Entonces, si 0 < |z| < ρ r(δ) y δ < Arg z < π −δ tenemos que

|g(z)| = |g̃(\frac{z}{ρ})| ≤ ε^{c δ}.

Hemos terminado la demostración pues c es una constante que no depende de ε.

Demostración del Teorema 14. El teorema de Riemann de la aplicación conforme y el teorema de Carathéodory sobre extensión continua de aplicaciones conformes aseguran la existencia de un homeomorfismo h : \overline{Δ} → \overline{Δ^{+}} tal que h es conforme de Δ sobre Δ^{+} y h(ξ) = 0. Sea g : Δ^{+} → ℂ definida por g(z) = f(h^{−1}(z)). Entonces g es una función holomorfa y acotada en Δ^{+}. Como f tiene el valor asintótico L en ξ, existe un arco de Jordan γ en Δ salvo por su extremo, que es ξ, de forma que

(21)  lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈γ \end{matrix}} f(z) = L.

Si Γ = h ∘ γ, entonces Γ es un arco de Jordan en Δ^{+} salvo por su extremo, que es 0, y de (21) se sigue que

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ z∈Γ \end{matrix}} g(z) = L.

Por el Teorema 11 tenemos que, para todo δ ∈ (0, \frac{π}{2} ),

lim_{\begin{matrix}z→0 \\ δ<Arg z<π−δ \end{matrix}} g(z) = L.

Ahora, si aplicamos el principio de reflexión para una circunferencia a la función h en el dominio D = Δ(ξ, r) ∩ Δ donde 0 < r < 1, deducimos que h se extiende a una aplicación conforme de un dominio que contiene a Δ ∪ {ξ} sobre un dominio que contiene a Δ^{+}∪{0}. Por tanto h preserva ángulos en el punto ξ y el comportamiento no tangencial se conserva. Entonces, para todo α ∈ (0, \frac{π}{2} ),

lim_{\begin{matrix}z→ξ \\ z∈S_{α}(ξ) \end{matrix}} f(z) = L,

lo que completa la demostración.