RESULTADOS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES SEMICONTINUAS

Daniel Girela

Análisis Matemático, Facultad de Ciencias, Universidad de Málaga, 29071 Málaga, Spain e-mail: girela@uma.es

Funciones semicontinuas superiormente.

1. Sean S ⊂ ℂ y a ∈ S. Una función u : S → [−∞, ∞] se dice que es semicontinua superiormente en a si

lim sup_{z→a} u(z) ≤ u(a).

Se dice que u es semicontinua superiormente en S si lo es en cada uno de sus puntos. 2. Si u es continua entonces es semicontinua superiormente.

3. (Si tiene sentido) la suma de dos funciones semic. sup. es semic. sup.

4. El máximo de dos func. semic. sup es semic. sup.

5. Si S es un subconjunto cerrado de ℂ entonces χ_{S} es semicontinua superiormente en ℂ.

6. u : S → [−∞, ∞] es semicontinua superiormente si y sólo si u^{−1} ([−∞, a)) es abierto para cada a ∈ ℝ.

7. Si S es compacto y u : S → [−∞, ∞) es semicontinua superiormente entonces u está acotada superiormente y alcanza su máximo en S.

8. Sea u : S → [−∞, ∞] semicontinua superiormente y sea ϕ : ℝ → ℝ continua y creciente (se entiende ϕ definida en −∞ e ∞ de forma natural). Entonces ϕ ∘ u es semicontinua sup.

9. Sea {u_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión de funciones semicontinuas superiormente de S en [−∞, ∞] con u_{n} ↓ u, cuando n ↑ ∞, entonces u es semicontinua sup.

10. Sea D un subconjunto abierto de ℂ y u : D → [−∞, ∞) semicontinua sup. Sea K un subconjunto compacto de D. Entonces existe una sucesión {f_{n}}_{n=1}^{∞} de funciones continuas de K en ℝ tal que f_{n} ↓ u en K.

Demostración. Supongamos primero que u está acotada en D, |u(z)| ≤ M, z ∈ D. Sea K un subconjunto compacto de D. Para n ≥ 1, definimos

f_{n}(z) = sup_{ξ∈K} (u(ξ) − n|z − ξ|) , z ∈ K.

Es claro que

f_{n} ↓, u ≤ f_{n} ≤ M.

Veamos que f_{n} es continua:

|u(ξ) − n|z − ξ| − (u(ξ) − n|z′ − ξ|)| ≤ n|z − z′|

con lo que

u(ξ) − n|z − ξ| ≤ u(ξ) − n|z′ − ξ| + n|z − z′|

y

u(ξ) − n|z′ − ξ| ≤ u(ξ) − n|z − ξ| + n|z − z′|.

Tomando supremos, se obtiene

f_{n}(z) ≤ f_{n}(z′) + n|z − z′|, y f_{n}(z′) ≤ f_{n}(z) + n|z − z′|

con lo que

|f_{n}(z) − f_{n}(z′)| ≤ n|z − z′|.

□ Falta probar que f_{n} → u puntualmente en K. Sea a ∈ K. Sea ε > 0. Como u

es semic. sup., existe δ > 0 tal que

(1)  u(ξ) ≤ u(a) + ε, si |ξ − a| < δ.

Tomenmos n_{0} tal que M − δn_{0} ≤ u(a) + ε. Entonces,

u(ξ) − n|ξ − a| ≤ M − nδ ≤ u(a) + ε, si n ≥ n_{0} y |ξ − a| ≥ δ

lo que junto con (1) implica

u(ξ) − n|ξ − a| ≤≤ u(a) + ε, n ≥ n_{0}, para todo ξ.

Tomando supremos, se obtiene

f_{n}(a) ≤ u(a) + ε, n ≥ n_{0}.

Por tanto (como u(a) ≤ f_{n}(a) para todo n) hemos probado que f_{(}a) → u(a).

Caso general, sea ϕ : [−∞, ∞) → [−1, 1) un homeomorfismo creciente ( por ejemplo, ϕ^{−1}(x) = \frac{x}{1−|x|}). Utilizando 8., tenemos que ϕ ∘ u es semic. sup. y acotada. Se aplica el caso anterior y se vuelve hacia atrás (con un poco de cuidado: de esta forma alguna de las f_{n} podría tomar el valor −∞, en tal se la sustituye por max(f_{n}, −n)).

Ejercicios sobre funciones subarmónicas

1. Sea {z_{n}}_{n=1}^{∞} un subconjunto denso y numerable de Δ y sea a un punto de Δ con a ≠ z_{n} para todo n. Sea

λ_{n} = 2^{−n} \frac{1}{log \frac{2}{|a−z_{n}|}} , n = 1, 2, 3, ….

Obsérvese que λ_{n} ≥ 0 para todo n. Sea

u(z) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n} log |\frac{z − z_{n}}{2} | , z ∈ Δ.

Pruebe que u define una función subarmónica en Δ y que u(z_{n}) = −∞, para cada n.

2. Sean D un dominio en ℂ y a ∈ D. Sea u una función subarmónica en D \ {a} que está acotada superioremente en un entorno perforado de a. Demuestre que es posible definir a u en a de forma que la función resultante sea subarmónica en D.

3. Demuestre que si a ∈ ℂ y r > 0 entonces

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} log |re^{it} − a|dt = max (log |a|, log r.)

Utilice esto para demostrar que la función u definida por

u(z) = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n} log |z − 2^{−n}|, z ∈ ℂ,

es subarmónica en ℂ. Demuestre también que u es discontinua en 0.

4. Sea u una función subarmónica en Δ con u < 0. Demuestre que para cada ξ ∈ ∂Δ se tiene

lim sup_{r→1^{−}} \frac{u(rξ)}{1 − r} < 0.

(Indicación: Aplique el principio del máximo a u(z) + c log |z| en \{\frac{1}{2} < |z| < 1\} para una determinada constante c).

5. Sean D_{1} y D_{2} dos dominios en ℂ y sean F una función holomorfa y no constante en D_{1} con F (D_{1}) ⊂ B_{2} y u una función subarmónica en D_{2}. Pruebe que la función compuesta u ∘ F es subarmónica en D_{1}. (Indicación: Suponga primero que F es inyectiva).

6. Sea U un subconjunto abierto de ℂ con U ≠ ℂ. Sea

u(z) = − log (dist z, ∂U) , z ∈ U.

Pruebe que u es subarmónica en U.