Curso de Máster: Análisis Complejo (2007-08). Ejercicios.

1.– Encuentre la solución del problema de Dirichlet en el dominio D con valores en la frontera dados por la función f. (Notación: z = x + iy = re^{iθ}). (Indicación: sería insensato usar la fórmula de Poisson).

a) D = Δ(0, 1); f(z) = x + x^{2}y^{2}.  b) D = Δ(i, 2); f(z) = x^{2}.

2.– a) Demuestre la Fórmula de Schwarz: Sea f holomorfa en el disco unidad Δ y sean u = Re f y v = Im f. Supongamos que u admite una extensión continua al disco unidad cerrado \overline{Δ}. Entonces

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} u(e^{it})\frac{e^{it} + z}{e^{it} − z} dt + iv(0).

b) Sea {f_{n}} una sucesión de funciones holomorfas en Δ. Escribamos, para cada n ∈ ℕ, u_{n} = Re f_{n}, v_{n} = Im f_{n}. Supongamos que cada u_{n} admite una extensión continua a \overline{Δ}, que \{u_{n}\} converge uniformemente en ∂Δ a una cierta función u definida sobre ∂Δ, y que {v_{n}(0)} es una sucesión convergente. Compruebe que {f_{n}} converge uniformemente en cada compacto de Δ a una función holomorfa f en Δ cuya parte real es Re f = P u, la integral de Poisson de u(e^{it}).

3.– Dada la función

f(z) = \frac{1}{1 − z} , z ∈ Δ,

demuestre que f ∈ H^{p} para cada p ∈ (0, 1) y que, sin embargo, f ∉ H^{1}.

4.– Sea f una función holomorfa en el disco unidad.

(i) Pruebe que si f ∈ H^{∞} entonces

(1 − |z|^{2})|f′(z)| ≤ 1, |z| < 1.

(ii) Pruebe que si f tiene límite no-tangencial finito en 1 entonces

lím_{r→1^{−}}(1 − r)|f′(r)| = 0.

5.– (i) Para cada n ≥ 2 sea a_{n} = 1 − 2^{−n} y sea B el producto de Blaschke cuya sucesión de ceros es {a_{n}}_{n=2}^{∞}. Pruebe que existe δ > 0 tal que (1 − |a_{n}|^{2})|B′(a_{n})| ≥ δ, para cada n. Deduzca que B no tiene límite radial en 1. (ii) Sea B el producto de Blaschke cuya sucesión de ceros es {1 − n^{−2}}_{n=2}^{∞}. Pruebe que B tiene límite no-tangencial en 1.

6.– Sea {a_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión de complejos no nulos con |a_{n}| < 1, para todo n, y satisfaciendo

∑_{n=1}^{∞}(1 − |a_{n}|)^{2} < ∞.

Para cada n, sea

b_{n}(z)\frac{|a_{n}|}{a_{n}} \frac{a_{n} − z}{1 − \overline{a}_{n}z} , |z| < 1.

Pruebe que el producto infinito

H(z) = ∏_{n=1}^{∞} b_{n}(z)(2 − b_{n}(z))

define una función holomorfa en el disco unidad cuya sucesión de ceros es {a_{n}}. Observe que hay sucesiones de este tipo para las que H no pertenece a ninguno de los espacios H^{p}.

7.– (i) Si ∈ H^{1} tiene el desarrollo de Taylor f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}, entonces es claro que la sucesión {a_{n}} es acotada. De hecho, se tiene que a_{n} → 0, cuando n → ∞. Para probar esto, comprueben que si {c_{n}}_{n=−∞}^{∞} son los coeficientes de Fourier de la función f(e^{it}) de los valores en la frontera de f, entonces c_{n} = 0 para n < 0, y c_{n} = a_{n} para n ≥ 0. Ahora apliquen el lema de Riemann-Lebesgue. (ii) Sea f(z) = (1 − z)^{−1} log(1 − z) (|z| < 1). Pruebe que f ∈ H^{p} para todo p < 1. Pruebe que la sucesión de los coeficientes de Taylor de f no está acotada. Deduzca que f ∉ H^{1}.